ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Некоторая первообразная функции $y=3\cos 3x+6\sin 6x$ принимает в точке $x=\frac{\pi }{2}$ значение 6. Какое значение принимает та же первообразная в точке $x=\frac{\pi }{6}$?

Дана функция: $y = 3\cos 3x + 6\sin 6x$;

Все первообразные функции:
$F(x) = 3 \cdot \frac{1}{3} \sin 3x + 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot (-\cos 6x) + C = \sin 3x — \cos 6x + C$;

Первообразная принимает в точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение 6:
$6 = \sin \left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) — \cos \left(6 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C$;
$6 = \sin \frac{3\pi}{2} — \cos 3\pi + C$;
$6 = -1 + 1 + C$;
$C = 6$;

Значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{6}$:
$F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) — \cos \left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + 6$;
$F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{2} — \cos \pi + 6 = 1 + 1 + 6 = 8$;

Ответ: 8.

Дана функция:
$y = 3\cos 3x + 6\sin 6x$

1) Найдём все первообразные функции этой функции

Первообразная функции $y = f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. То есть:
$F'(x) = f(x)$

В нашем случае:
$f(x) = 3\cos 3x + 6\sin 6x$

Будем находить первообразную по частям.

Рассмотрим первое слагаемое:
$\int 3\cos 3x \, dx$

Вынесем константу 3 за знак интеграла:
$3 \int \cos 3x \, dx$

Напомним, что:
$\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C$

Здесь $a = 3$, поэтому:
$\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} \sin 3x$

Значит:
$3 \int \cos 3x \, dx = 3 \cdot \frac{1}{3} \sin 3x = \sin 3x$

Теперь второе слагаемое:
$\int 6\sin 6x \, dx$

Вынесем 6:
$6 \int \sin 6x \, dx$

Напомним, что:
$\int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$

Здесь $a = 6$, поэтому:
$\int \sin 6x \, dx = -\frac{1}{6} \cos 6x$

Значит:
$6 \cdot \int \sin 6x \, dx = 6 \cdot \left(-\frac{1}{6} \cos 6x\right) = -\cos 6x$

Теперь сложим обе части:
$F(x) = \sin 3x — \cos 6x + C$, где $C$ — произвольная постоянная

2) Найдём константу $C$, зная, что первообразная принимает значение 6 в точке $x = \frac{\pi}{2}$

Нам известно:
$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 6$

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение для $F(x)$:
$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin 3\left(\frac{\pi}{2}\right) — \cos 6\left(\frac{\pi}{2}\right) + C$

Посчитаем аргументы:
$3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$,
$6 \cdot \frac{\pi}{2} = 3\pi$

Теперь найдём значения синуса и косинуса:
$\sin \frac{3\pi}{2} = -1$,
$\cos 3\pi = \cos(\pi \cdot 3) = \cos(\pi) = -1$, но с учётом чётности $\cos(-x) = \cos x$, и так как $\cos(\pi) = -1$,
то $\cos(3\pi) = -1$

Тогда:
$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = (-1) — (-1) + C = -1 + 1 + C = 0 + C = C$

А по условию:
$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 6$

Значит:
$C = 6$

3) Найдём значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{6}$

Итак, у нас полное выражение первообразной:
$F(x) = \sin 3x — \cos 6x + 6$

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$:
$F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) — \cos \left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + 6$

Посчитаем аргументы:
$3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$,
$6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi$

Теперь найдём значения функций:
$\sin \frac{\pi}{2} = 1$,
$\cos \pi = -1$

Подставим:
$F\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 — (-1) + 6 = 1 + 1 + 6 = 8$

Ответ: 8