ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $F(x) = 3\sin x$, $f(x) = 3\cos x$;

б) $F(x) = -4\cos x$, $f(x) = 4\sin x$;

в) $F(x) = -9\sin x$, $f(x) = -9\cos x$;

г) $F(x) = 5\cos x$, $f(x) = -5\sin x$

Доказать, что функция $y = F(x)$ является первообразной функции $y = f(x)$, если:

а) $F(x) = 3\sin x$, $f(x) = 3\cos x$;
$F'(x) = 3(\sin x)’ = 3\cos x = f(x)$;
Что и требовалось доказать.

б) $F(x) = -4\cos x$, $f(x) = 4\sin x$;
$F'(x) = -4(\cos x)’ = -4(-\sin x) = 4\sin x = f(x)$;
Что и требовалось доказать.

в) $F(x) = -9\sin x$, $f(x) = -9\cos x$;
$F'(x) = -9(\sin x)’ = -9\cos x = f(x)$;
Что и требовалось доказать.

г) $F(x) = 5\cos x$, $f(x) = -5\sin x$;
$F'(x) = 5(\cos x)’ = 5(-\sin x) = -5\sin x = f(x)$;
Что и требовалось доказать.

Докажем, что функция $y = F(x)$ является первообразной функции $y = f(x)$.
Для этого нужно показать, что производная $F'(x) = f(x)$.
При вычислении производных используем стандартные правила:

• $\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$
• $\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$

а) $F(x) = 3\sin x$, $f(x) = 3\cos x$

Найдём производную $F(x)$:

$$F'(x) = \frac{d}{dx}[3\sin x] = 3 \cdot \frac{d}{dx}[\sin x] = 3 \cdot \cos x = 3\cos x$$

Сравниваем:

$$F'(x) = f(x)$$

Вывод: $F(x)$ — первообразная для $f(x)$

Что и требовалось доказать.

б) $F(x) = -4\cos x$, $f(x) = 4\sin x$

Найдём производную $F(x)$:

$$F'(x) = \frac{d}{dx}[-4\cos x] = -4 \cdot \frac{d}{dx}[\cos x] = -4 \cdot (-\sin x) = 4\sin x$$

Сравниваем:

$$F'(x) = f(x)$$

Вывод: $F(x)$ — первообразная для $f(x)$

Что и требовалось доказать.

в) $F(x) = -9\sin x$, $f(x) = -9\cos x$

Найдём производную $F(x)$:

$$F'(x) = \frac{d}{dx}[-9\sin x] = -9 \cdot \frac{d}{dx}[\sin x] = -9 \cdot \cos x = -9\cos x$$

Сравниваем:

$$F'(x) = f(x)$$

Вывод: $F(x)$ — первообразная для $f(x)$

Что и требовалось доказать.

г) $F(x) = 5\cos x$, $f(x) = -5\sin x$

Найдём производную $F(x)$:

$$F'(x) = \frac{d}{dx}[5\cos x] = 5 \cdot \frac{d}{dx}[\cos x] = 5 \cdot (-\sin x) = -5\sin x$$

Сравниваем:

$$F'(x) = f(x)$$

Вывод: $F(x)$ — первообразная для $f(x)$

Что и требовалось доказать.