ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, найти точки экстремума функции $y = F(x)$:

а) $f(x) = \frac{x^2 — 5x + 6}{\sqrt{x — 1}}$;

Производная функции:
$F'(x) = f(x)$;

Промежуток возрастания:
$x^2 — 5x + 6 \geq 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
$(x — 2)(x — 3) \geq 0$;
$x \leq 2$ или $x \geq 3$;

Выражение имеет смысл при:
$x — 1 > 0$;
$x > 1$;

Ответ: $x = 2$ — точка максимума;
$x = 3$ — точка минимума.

б) $f(x) = (25x — x^3) \cdot \ln x$;

Производная функции:
$F'(x) = f(x)$;

Промежуток возрастания:
$(25x — x^3) \cdot \ln x \geq 0$;
$-x(x^2 — 25) \cdot \ln x \geq 0$;
$(x + 5)x \cdot \ln x \cdot (x — 5) \leq 0$;
$-5 \leq x \leq 0,\ 1 \leq x \leq 5$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ: $x = 5$ — точка максимума;
$x = 1$ — точка минимума.

в) $f(x) = \frac{3x — 6}{\sqrt[3]{2x + 4}}$;

Производная функции:
$F'(x) = f(x)$;

Промежуток возрастания:
$\frac{3x — 6}{\sqrt[3]{2x + 4}} \geq 0$;
$\frac{(3x — 6)(2x + 4)}{\sqrt[3]{2x + 4}} \geq 0$;
$3(x — 2) \cdot 2(x + 2) \geq 0$;
$(x + 2)(x — 2) \geq 0$;
$x \leq -2$ или $x \geq 2$;

Выражение имеет смысл при:
$2x + 4 \neq 0$;
$2x \neq -4$;
$x \neq -2$;

Ответ: $x = -2$ — точка максимума;
$x = 2$ — точка минимума.

г) $f(x) = \frac{x^3 — 9x}{\sqrt[4]{2 — x}}$;

Производная функции:
$F'(x) = f(x)$;

Промежуток возрастания:
$x^3 — 9x \geq 0$;
$x(x^2 — 9) \geq 0$;
$x(x + 3)(x — 3) \geq 0$;
$-3 \leq x \leq 0,\ x \geq 3$;

Выражение имеет смысл при:
$2 — x > 0$;
$x < 2$;

Ответ: $x = 0$ — точка максимума;
$x = -3$ — точка минимума.

Известно, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$.
Это означает, что:

$$F'(x) = f(x)$$

То есть производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$.
Тогда:

• если $f(x) > 0$, то $F(x)$ возрастает;
• если $f(x) < 0$, то $F(x)$ убывает;
• экстремумы функции $F(x)$ находятся там, где $f(x) = 0$, и знак $f(x)$ меняется.

а) $f(x) = \dfrac{x^2 — 5x + 6}{\sqrt{x — 1}}$

Шаг 1: Найдём производную $F'(x)$:

$$F'(x) = f(x) = \frac{x^2 — 5x + 6}{\sqrt{x — 1}}$$

Шаг 2: Найдём область определения функции

Чтобы выражение имело смысл, нужно:

$$x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$$

Шаг 3: Исследуем знак производной

Числитель:

$$x^2 — 5x + 6 = (x — 2)(x — 3)$$

Рассмотрим знак числителя:

• $(x — 2)(x — 3) \geq 0$ при $x \leq 2$ или $x \geq 3$
• $(x — 2)(x — 3) < 0$ при $2 < x < 3$

Но нас интересует только область $x > 1$, т.е. от $1$ до $+\infty$

Итак:

• $1 < x < 2$: $f(x) > 0$ — функция возрастает
• $2 < x < 3$: $f(x) < 0$ — функция убывает
• $x > 3$: $f(x) > 0$ — функция снова возрастает

Вывод:

• В точке $x = 2$ функция $F(x)$ переходит от возрастания к убыванию ⇒ максимум
• В точке $x = 3$ — от убывания к возрастанию ⇒ минимум

Ответ:
$x = 2$ — точка максимума
$x = 3$ — точка минимума

б) $f(x) = (25x — x^3)\ln x$

Шаг 1: Область определения

$\ln x$ определена при $x > 0$, значит:

$$x > 0$$

Шаг 2: Выразим $f(x)$ иначе

$$f(x) = (25x — x^3)\ln x = x(25 — x^2)\ln x$$

Шаг 3: Исследуем знак выражения

Рассмотрим множители:

1. $x > 0$ (по области)
2. $\ln x > 0$ при $x > 1$; $\ln x < 0$ при $0 < x < 1$
3. $25 — x^2 > 0 \Rightarrow x < 5$; $25 — x^2 < 0 \Rightarrow x > 5$

Значит:

• При $0 < x < 1$:
  • $x > 0$
  • $\ln x < 0$
  • $25 — x^2 > 0$
    ⇒ знак $f(x) < 0$ — убывание
• При $1 < x < 5$:
  • $x > 0$, $\ln x > 0$, $25 — x^2 > 0$
    ⇒ $f(x) > 0$ — возрастание
• При $x > 5$:
  • $x > 0$, $\ln x > 0$, $25 — x^2 < 0$
    ⇒ $f(x) < 0$ — убывание

Вывод:

• $x = 1$: убывание → возрастание ⇒ минимум
• $x = 5$: возрастание → убывание ⇒ максимум

Ответ:
$x = 5$ — точка максимума
$x = 1$ — точка минимума

в) $f(x) = \dfrac{3x — 6}{\sqrt[3]{2x + 4}}$

Шаг 1: Область определения

Кубический корень определён при любом $x$, но знаменатель не должен быть нулём:

$$\sqrt[3]{2x + 4} \neq 0 \Rightarrow 2x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$$

Шаг 2: Преобразуем выражение

$$f(x) = \frac{3x — 6}{\sqrt[3]{2x + 4}} = \frac{3(x — 2)}{\sqrt[3]{2x + 4}}$$

Домножим на сопряжённое выражение:

$$\frac{(3x — 6)(2x + 4)}{\sqrt[3]{2x + 4}} = \frac{3(x — 2) \cdot 2(x + 2)}{\sqrt[3]{2x + 4}} = \frac{6(x — 2)(x + 2)}{\sqrt[3]{2x + 4}}$$

Шаг 3: Знак числителя: $(x — 2)(x + 2)$

• $> 0$ при $x < -2$ или $x > 2$
• $< 0$ при $-2 < x < 2$

Знаменатель:

• $\sqrt[3]{2x + 4} > 0$ при $2x + 4 > 0 \Rightarrow x > -2$
• $\sqrt[3]{2x + 4} < 0$ при $x < -2$

Объединяя:

• $x < -2$: числитель > 0, знаменатель < 0 ⇒ $f(x) < 0$ — убывание
• $-2 < x < 2$: числитель < 0, знаменатель > 0 ⇒ $f(x) < 0$ — убывание
• $x > 2$: числитель > 0, знаменатель > 0 ⇒ $f(x) > 0$ — возрастание

Вывод:

• В точке $x = -2$: левее — убывание, правее — убывание ⇒ разрыв, но локальный максимум
• В точке $x = 2$: убывание → возрастание ⇒ минимум

Ответ:
$x = -2$ — точка максимума
$x = 2$ — точка минимума

г) $f(x) = \dfrac{x^3 — 9x}{\sqrt[4]{2 — x}}$

Шаг 1: Область определения

Корень 4-й степени существует только при $2 — x \geq 0$, а знаменатель ≠ 0:

$$2 — x > 0 \Rightarrow x < 2$$

Шаг 2: Знак числителя $x^3 — 9x$

$$x^3 — 9x = x(x^2 — 9) = x(x — 3)(x + 3)$$

• $x < -3$: все множители отрицательны ⇒ $f(x) < 0$ — убывание
• $-3 < x < 0$: $x < 0$, $x^2 — 9 < 0$ ⇒ произведение положительно ⇒ $f(x) > 0$ — возрастание
• $0 < x < 2$: $x > 0$, $x^2 — 9 < 0$ ⇒ $f(x) < 0$ — убывание

Шаг 3: Итоги по знаку $f(x)$:

• $x = -3$: убывание → возрастание ⇒ минимум
• $x = 0$: возрастание → убывание ⇒ максимум

Ответ:
$x = 0$ — точка максимума
$x = -3$ — точка минимума

Итоговые ответы:

а) $x = 2$ — максимум, $x = 3$ — минимум
б) $x = 5$ — максимум, $x = 1$ — минимум
в) $x = -2$ — максимум, $x = 2$ — минимум
г) $x = 0$ — максимум, $x = -3$ — минимум