ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$;
Выяснить, что больше $-F(a)$ или $F(b)$, если:

а) $f(x) = (2x — 10) \cdot \sqrt{x — 3}$, $a = 3{,}3$, $b = 4{,}1$;

Производная функции:
$F'(x) = f(x)$;

Промежуток возрастания:
$2x — 10 \geq 0$;
$2x \geq 10$;
$x \geq 5$;

Выражение имеет смысл при:
$x — 3 \geq 0$;
$x \geq 3$;

На отрезке $[3{,}3; 4{,}1]$ функция убывает;
Ответ: $F(a) > F(b)$.

б) $f(x) = (3x + 60) \cdot \sqrt[3]{2x — 4}$, $a = 15$, $b = 17$;

Производная функции:
$F'(x) = f(x)$;

Промежуток возрастания:
$(3x + 60)(2x — 4) \geq 0$;
$3(x + 20) \cdot 2(x — 2) \geq 0$;
$(x + 20)(x — 2) \geq 0$;
$x \leq -20$ или $x \geq 2$;

Выражение имеет смысл при:
$x \in \mathbb{R}$;

На отрезке $[15; 17]$ функция возрастает;
Ответ: $F(a) < F(b)$.

Известно, что $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$.
То есть:

$$F'(x) = f(x)$$

Нужно сравнить два значения: $-F(a)$ и $F(b)$.
Сравнение этих выражений сводится к сравнению $F(a)$ и $F(b)$:

• если $F(a) > F(b)$, то $-F(a) < -F(b)$, следовательно $-F(a) < F(b)$;
• если $F(a) < F(b)$, то $-F(a) > -F(b)$, следовательно $-F(a) > F(b)$.

Поэтому наша задача — выяснить, возрастает или убывает функция $F(x)$ на отрезке от $a$ до $b$, то есть определить знак её производной $F'(x) = f(x)$ на этом промежутке.

а) $f(x) = (2x — 10)\sqrt{x — 3}$, $a = 3{,}3$, $b = 4{,}1$

Шаг 1: Находим производную первообразной

$$F'(x) = f(x) = (2x — 10)\sqrt{x — 3}$$

Шаг 2: Найдём область определения функции
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$$

Функция определена при $x \geq 3$, значит значения $a = 3{,}3$ и $b = 4{,}1$ входят в область определения.

Шаг 3: Определим, возрастает или убывает функция $F(x)$ на отрезке от $a$ до $b$

Заметим, что $\sqrt{x — 3} \geq 0$ при $x \geq 3$, поэтому знак функции $f(x)$ зависит от множителя $(2x — 10)$.
Найдём, где $2x — 10 \geq 0$:

$$2x \geq 10 \Rightarrow x \geq 5$$

Следовательно:

• при $x < 5$, $2x — 10 < 0$, а $\sqrt{x — 3} > 0$ ⇒ $f(x) < 0$
• при $x > 5$, $f(x) > 0$

Нас интересует поведение функции на отрезке от $3{,}3$ до $4{,}1$.
Этот отрезок полностью лежит левее точки $x = 5$, поэтому на всём этом отрезке:

$$f(x) < 0 \Rightarrow F'(x) < 0 \Rightarrow F(x) \text{ убывает}$$

Значит, если $x$ увеличивается от $a = 3{,}3$ до $b = 4{,}1$, то $F(x)$ уменьшается.
Следовательно:

$$F(a) > F(b) \Rightarrow -F(a) < -F(b) \Rightarrow \boxed{-F(a) < F(b)}$$

Ответ: $F(a) > F(b)$

б) $f(x) = (3x + 60)\sqrt[3]{2x — 4}$, $a = 15$, $b = 17$

Шаг 1: Производная первообразной:

$$F'(x) = f(x) = (3x + 60)\sqrt[3]{2x — 4}$$

Шаг 2: Область определения
Кубический корень $\sqrt[3]{2x — 4}$ определён на всей числовой прямой, поэтому:

$$x \in \mathbb{R}$$

Числа $a = 15$ и $b = 17$ принадлежат области определения.

Шаг 3: Определим знак функции $f(x)$

Запишем функцию как:

$$f(x) = (3x + 60)\sqrt[3]{2x — 4}$$

Чтобы определить знак произведения, найдём, где каждый из множителей меняет знак:

1. $3x + 60 = 0 \Rightarrow x = -20$
2. $\sqrt[3]{2x — 4} = 0 \Rightarrow 2x — 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

Разложим:

$$f(x) = 3(x + 20) \cdot \sqrt[3]{2x — 4}$$

Определим, при каких $x$ функция $f(x) \geq 0$

• $x < -20$:
  $x + 20 < 0$, $2x — 4 < 0$ ⇒ $f(x) > 0$
• $-20 < x < 2$:
  $x + 20 > 0$, $2x — 4 < 0$ ⇒ $f(x) < 0$
• $x > 2$:
  оба множителя положительны ⇒ $f(x) > 0$

Таким образом:

$$f(x) \geq 0 \text{ при } x \leq -20 \text{ или } x \geq 2$$

На отрезке от $a = 15$ до $b = 17$, функция $f(x) > 0$, так как $x > 2$

Следовательно:

$$F'(x) = f(x) > 0 \Rightarrow F(x) \text{ возрастает}$$

Значит:

$$F(a) < F(b) \Rightarrow -F(a) > -F(b) \Rightarrow \boxed{-F(a) > F(b)}$$

Ответ: $F(a) < F(b)$

Итоговые ответы:

а) $F(a) > F(b)$
б) $F(a) < F(b)$