ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для функции у = f(x) найдите хотя бы одну первообразную:

а) $f(x) = -\frac{1}{x^2} = -x^{-2}$;

б) $f(x) = \frac{7}{x^2} = 7x^{-2}$

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = -\frac{1}{x^2} = -x^{-2}$;

Все первообразные функции:

$$F(x) = -\frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = -\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{x} + C$$

Ответ: $F(x) = \frac{1}{x} + 2$.

б) $f(x) = \frac{7}{x^2} = 7x^{-2}$;

Все первообразные функции:

$$F(x) = 7 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 7 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{7}{x} + C$$

Ответ: $F(x) = -\frac{7}{x} + 1$.

а) $f(x) = -\dfrac{1}{x^2}$

Шаг 1. Перепишем функцию в степенном виде

$$f(x) = -\dfrac{1}{x^2} = -x^{-2}$$

Шаг 2. Используем правило нахождения первообразной степенной функции

Для $f(x) = x^n$, где $n \ne -1$, первообразная:

$$\int x^n dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$$

Применим к $f(x) = -x^{-2}$

$$\int -x^{-2} dx = — \int x^{-2} dx = — \dfrac{x^{-1}}{-1} + C = \dfrac{1}{x} + C$$

Шаг 3. Ответ с конкретной константой

Хотя общий вид первообразной — $F(x) = \dfrac{1}{x} + C$,
в условии просят «хотя бы одну», поэтому можно взять любую $C$, например $C = 2$

Ответ:

$$\boxed{F(x) = \dfrac{1}{x} + 2}$$

б) $f(x) = \dfrac{7}{x^2}$

Шаг 1. Перепишем функцию в степенном виде

$$f(x) = \dfrac{7}{x^2} = 7x^{-2}$$

Шаг 2. Используем правило для степенной функции

$$\int 7x^{-2} dx = 7 \cdot \int x^{-2} dx = 7 \cdot \dfrac{x^{-1}}{-1} + C = -\dfrac{7}{x} + C$$

Шаг 3. Ответ с конкретной константой

Пусть $C = 1$

Ответ:

$$\boxed{F(x) = -\dfrac{7}{x} + 1}$$

ИТОГОВЫЙ ОТВЕТ:

а) $\boxed{F(x) = \dfrac{1}{x} + 2}$

б) $\boxed{F(x) = -\dfrac{7}{x} + 1}$