ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a) $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

б) $f(x)=\frac{6}{\sqrt{x}}$

Найти хотя бы одну первообразную функции:

a) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{-0,5}$;

Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-0,5 + 1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{0,5} + C = \sqrt{x} + C;$$

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + 5$.

б) $f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}} = 6x^{-\frac{1}{2}} = 6x^{-0,5}$;

Все первообразные функции:

$$F(x) = 6 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-0,5 + 1} + C = 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{0,5} + C = 12\sqrt{x} + C;$$

Ответ: $F(x) = 12\sqrt{x} + 7$.

а) $f(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Шаг 1. Представим функцию в виде степени

$$f(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2} \cdot x^{-1/2}$$

Шаг 2. Используем формулу для нахождения первообразной

Для $x^n$ (при $n \ne -1$):

$$\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Применим её:

$$F(x)=\int \frac{1}{2}{x}^{-1\mathrm{/}2}dx=\frac{1}{2}\int x^{-1\mathrm{/}2}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{(-1\mathrm{/}2)+1}}{(-1\mathrm{/}2)+1}+C=$$

$$F(x) = \int \dfrac{1}{2} x^{-1/2} dx = \dfrac{1}{2} \int x^{-1/2} dx = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x^{1/2}}{1/2} + C = \dfrac{1}{2} \cdot 2x^{1/2} + C = x^{1/2} + C = \sqrt{x} + C$$

Шаг 3. Запишем хотя бы одну первообразную

Поскольку все первообразные отличаются на константу $C$, можно взять любую. Например, $C = 5$

Ответ:

$$\boxed{F(x) = \sqrt{x} + 5}$$

б) $f(x) = \dfrac{6}{\sqrt{x}}$

Шаг 1. Представим функцию в виде степени

$$f(x) = \dfrac{6}{\sqrt{x}} = 6x^{-1/2}$$

Шаг 2. Используем формулу для нахождения первообразной

$$F(x) = \int 6x^{-1/2} dx = 6 \cdot \int x^{-1/2} dx = 6 \cdot \dfrac{x^{1/2}}{1/2} + C = 6 \cdot 2x^{1/2} + C = 12\sqrt{x} + C$$

Шаг 3. Запишем хотя бы одну первообразную

Пусть $C = 7$

Ответ:

$$\boxed{F(x) = 12\sqrt{x} + 7}$$

Итоговый ответ:

а) $\boxed{F(x) = \sqrt{x} + 5}$
б) $\boxed{F(x) = 12\sqrt{x} + 7}$