ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = x^2 + x^{16}$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{x^{16+1}}{16+1} + C = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{17}}{17} + C;$$

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{17}}{17} + 20$.

б) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} — x^{-2}$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-0,5 + 1} — \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{0,5} — \frac{x^{-1}}{-1} + C = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + C;$$

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 2$.

в) $f(x) = x^{13} + x^{18}$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{x^{13+1}}{13+1} + \frac{x^{18+1}}{18+1} + C = \frac{x^{14}}{14} + \frac{x^{19}}{19} + C;$$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{14}}{14} + \frac{x^{19}}{19} + 5$.

г) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 1$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-0,5 + 1} + x + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{0,5} + x + C = \sqrt{x} + x + C;$$

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + x + 17$.

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = x^2 + x^{16}$

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности и применим правило нахождения первообразной для степенной функции:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{при } n \ne -1$$

Применим это правило:

Первое слагаемое:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$$

Второе слагаемое:

$$\int x^{16} \, dx = \frac{x^{16+1}}{16+1} = \frac{x^{17}}{17}$$

Теперь сложим обе найденные первообразные:

$$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{17}}{17} + C$$

Это общее выражение для всех первообразных функции $f(x)$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Если взять конкретную первообразную, например, при $C = 20$, получаем:

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{17}}{17} + 20$

б) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2}$

Приведём функцию к виду с показателями степени:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}, \quad \frac{1}{x^2} = x^{-2}$$

Тогда:

$$f(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} — x^{-2}$$

Теперь находим первообразную каждого слагаемого:

Первое слагаемое:

$$\int \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$$

Второе слагаемое:

$$\int (-x^{-2}) \, dx = — \int x^{-2} \, dx = — \frac{x^{-2+1}}{-2 + 1} = — \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{1}{x}$$

Сложим обе первообразные:

$$F(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + C$$

Подставим конкретное значение $C = 2$:

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 2$

в) $f(x) = x^{13} + x^{18}$

Рассматриваем каждое слагаемое отдельно:

Первое слагаемое:

$$\int x^{13} \, dx = \frac{x^{13+1}}{13+1} = \frac{x^{14}}{14}$$

Второе слагаемое:

$$\int x^{18} \, dx = \frac{x^{18+1}}{18+1} = \frac{x^{19}}{19}$$

Сложим полученные первообразные:

$$F(x) = \frac{x^{14}}{14} + \frac{x^{19}}{19} + C$$

Подставим $C = 5$:

Ответ: $F(x) = \frac{x^{14}}{14} + \frac{x^{19}}{19} + 5$

г) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$

Преобразуем к степенному виду:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}, \quad \text{а } 1 = x^0$$

Тогда:

$$f(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + x^0$$

Интегрируем каждое слагаемое:

Первое слагаемое:

$$\int \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$$

Второе слагаемое:

$$\int x^0 \, dx = \int 1 \, dx = x$$

Суммируем:

$$F(x) = \sqrt{x} + x + C$$

Подставим $C = 17$:

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + x + 17$