ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = 4x^3 — 6x^2$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} — 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{4x^4}{4} — \frac{6x^3}{3} + C = x^4 — 2x^3 + C;$$

Ответ: $F(x) = x^4 — 2x^3 + 1$.

б) $f(x) = -3 \sin x + 2 \cos x$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = -3 \cdot (-\cos x) + 2 \cdot \sin x + C = 3 \cos x + 2 \sin x + C;$$

Ответ: $F(x) = 3 \cos x + 2 \sin x — 5$.

в) $f(x) = 5x^4 — 3x^5$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} — 3 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{5x^5}{5} — \frac{3x^6}{6} + C = x^5 — \frac{x^6}{2} + C;$$

Ответ: $F(x) = x^5 — \frac{x^6}{2} + \frac{1}{3}$.

г) $f(x) = -13 \sin x + \frac{5}{\cos^2 x}$;
Все первообразные функции:

$$F(x) = -13 \cdot (-\cos x) + 5 \cdot \operatorname{tg} x + C = 13 \cos x + 5 \operatorname{tg} x + C;$$

Ответ: $F(x) = 13 \cos x + 5 \operatorname{tg} x + 14$.

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = 4x^3 — 6x^2$

Разделим выражение на два слагаемых и воспользуемся правилом нахождения первообразной степенной функции:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{при } n \ne -1$$

Применим это правило по отдельности для каждого слагаемого:

Первое слагаемое:

$$\int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \int x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$$

Второе слагаемое:

$$\int (-6x^2) \, dx = -6 \cdot \int x^2 \, dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} = -2x^3$$

Теперь сложим результаты и прибавим произвольную постоянную $C$:

$$F(x) = x^4 — 2x^3 + C$$

Если взять конкретное значение $C = 1$, то:

Ответ: $F(x) = x^4 — 2x^3 + 1$

б) $f(x) = -3 \sin x + 2 \cos x$

Используем известные первообразные тригонометрических функций:

$$\int \sin x \, dx = -\cos x, \quad \int \cos x \, dx = \sin x$$

Первое слагаемое:

$$\int (-3 \sin x) \, dx = -3 \cdot \int \sin x \, dx = -3 \cdot (-\cos x) = 3 \cos x$$

Второе слагаемое:

$$\int 2 \cos x \, dx = 2 \cdot \int \cos x \, dx = 2 \cdot \sin x = 2 \sin x$$

Складываем результаты и прибавляем $C$:

$$F(x) = 3 \cos x + 2 \sin x + C$$

Подставим $C = -5$:

Ответ: $F(x) = 3 \cos x + 2 \sin x — 5$

в) $f(x) = 5x^4 — 3x^5$

Разбиваем на отдельные интегралы:

Первое слагаемое:

$$\int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \int x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$$

Второе слагаемое:

$$\int (-3x^5) \, dx = -3 \cdot \int x^5 \, dx = -3 \cdot \frac{x^6}{6} = -\frac{3x^6}{6} = -\frac{x^6}{2}$$

Теперь сложим и добавим $C$:

$$F(x) = x^5 — \frac{x^6}{2} + C$$

Подставим $C = \frac{1}{3}$:

Ответ: $F(x) = x^5 — \frac{x^6}{2} + \frac{1}{3}$

г) $f(x) = -13 \sin x + \frac{5}{\cos^2 x}$

Вспомним стандартные интегралы:

$$\int \sin x \, dx = -\cos x, \quad \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tg x$$

Первое слагаемое:

$$\int -13 \sin x \, dx = -13 \cdot \int \sin x \, dx = -13 \cdot (-\cos x) = 13 \cos x$$

Второе слагаемое:

$$\int \frac{5}{\cos^2 x} \, dx = 5 \cdot \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = 5 \cdot \tg x$$

Сложим всё и прибавим $C$:

$$F(x) = 13 \cos x + 5 \tg x + C$$

При $C = 14$, получаем:

Ответ: $F(x) = 13 \cos x + 5 \tg x + 14$