ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = e^x + \frac{1}{x}$;
Все первообразные функции:
$F(x) = e^x + \ln|x| + C$;
Ответ: $F(x) = e^x + \ln|x| + 1$.

б) $f(x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2} — \frac{5}{\sin^2 x} = \frac{3}{x} + 4x^{-2} — \frac{5}{\sin^2 x}$;
Все первообразные функции:
$F(x) = 3\ln|x| + 4 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} — 5 \cdot (-\ctg x) + C$;
$F(x) = 3\ln|x| — \frac{4}{x} + 5\ctg x + C$;
Ответ: $F(x) = 3\ln|x| — \frac{4}{x} + 5\ctg x$.

в) $f(x) = x^{\frac{2}{3}} — x^{-\frac{1}{3}}$;
Все первообразные функции:
$F(x) = x^{\frac{2}{3}+1} \cdot \left( \frac{2}{3} + 1 \right) — x^{-\frac{1}{3}+1} \cdot \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) + C$;
$F(x) = x^{\frac{5}{3}} \cdot \frac{5}{3} — x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{2}{3} + C = \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5} — \frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$;
Ответ: $F(x) = \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5} — \frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{1}{7}$.

г) $f(x) = \sqrt[5]{x} — 2e^x = x^{\frac{1}{5}} — 2e^x$;
Все первообразные функции:
$F(x) = x^{\frac{1}{5}+1} \cdot \left( \frac{1}{5} + 1 \right) — 2 \cdot e^x + C$;
$F(x) = x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{6}{5} — 2e^x + C = \frac{5x\sqrt[5]{x}}{6} — 2e^x + C$;
Ответ: $F(x) = \frac{5x\sqrt[5]{x}}{6} — 2e^x — 3$.

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = e^x + \dfrac{1}{x}$

Разделим функцию на два слагаемых:

$$f(x) = e^x + \frac{1}{x}$$

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

Первообразная $e^x$ — это сама функция:

$$\int e^x \, dx = e^x$$

Первообразная $\dfrac{1}{x}$ — это натуральный логарифм модуля $x$:

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|$$

Теперь сложим полученные первообразные и прибавим произвольную постоянную интегрирования $C$:

$$F(x) = e^x + \ln|x| + C$$

Подставим конкретное значение $C = 1$:

Ответ: $F(x) = e^x + \ln|x| + 1$

б) $f(x) = \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{x^2} — \dfrac{5}{\sin^2 x}$

Преобразуем выражение, записав $\dfrac{4}{x^2}$ как степень:

$$f(x) = \frac{3}{x} + 4x^{-2} — \frac{5}{\sin^2 x}$$

Теперь найдём первообразную для каждого слагаемого:

Первообразная $\dfrac{3}{x}$:

$$\int \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln|x|$$

Первообразная $4x^{-2}$:

$$\int 4x^{-2} \, dx = 4 \cdot \int x^{-2} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{4}{x}$$

Первообразная $-\dfrac{5}{\sin^2 x}$.
Используем известную формулу:

$$\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\ctg x$$

Следовательно:

$$\int \left( -\frac{5}{\sin^2 x} \right) dx = -5 \cdot (-\ctg x) = 5\ctg x$$

Складываем все полученные первообразные и добавляем произвольную константу $C$:

$$F(x) = 3\ln|x| — \frac{4}{x} + 5\ctg x + C$$

Конкретное значение $C$ не указано, значит используем его по умолчанию или опускаем.

Ответ: $F(x) = 3\ln|x| — \frac{4}{x} + 5\ctg x$

в) $f(x) = x^{\frac{2}{3}} — x^{-\frac{1}{3}}$

Рассматриваем два слагаемых отдельно.

Первообразная $x^{\frac{2}{3}}$:

$$\int x^{\frac{2}{3}} \, dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}$$

Первообразная $-x^{-\frac{1}{3}}$:

$$\int -x^{-\frac{1}{3}} \, dx = — \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} = — \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = — \frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2}$$

Складываем:

$$F(x) = \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5} — \frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$$

Подставим значение $C = \frac{1}{7}$:

Ответ: $F(x) = \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5} — \frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{1}{7}$

г) $f(x) = \sqrt[5]{x} — 2e^x = x^{\frac{1}{5}} — 2e^x$

Рассматриваем каждое слагаемое по отдельности.

Первообразная $x^{\frac{1}{5}}$:

$$\int x^{\frac{1}{5}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{5} + 1}}{\frac{1}{5} + 1} = \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} = \frac{5x^{\frac{6}{5}}}{6}$$

Так как $x^{\frac{6}{5}} = x \cdot x^{\frac{1}{5}} = x\sqrt[5]{x}$, можно записать:

$$\frac{5x^{\frac{6}{5}}}{6} = \frac{5x\sqrt[5]{x}}{6}$$

Первообразная $-2e^x$:

$$\int -2e^x \, dx = -2e^x$$

Складываем:

$$F(x) = \frac{5x\sqrt[5]{x}}{6} — 2e^x + C$$

Подставим $C = -3$:

Ответ: $F(x) = \frac{5x\sqrt[5]{x}}{6} — 2e^x — 3$