ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$;
Все первообразные функции:
$F(x) = x + C$;
Ответ: $F(x) = x + 2$.

б) $y = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \sin x$;
Все первообразные функции:
$F(x) = -\cos x + C$;
Ответ: $F(x) = -\cos x + 1$.

в) $y = 1 + \tg^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$;
Все первообразные функции:
$F(x) = \tg x + C$;
Ответ: $F(x) = \tg x + 3$.

г) $y = 1 + \ctg^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x}$;
Все первообразные функции:
$F(x) = -\ctg x + C$;
Ответ: $F(x) = -\ctg x + 5$.

а) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$

Шаг 1. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Следовательно:

$$f(x) = 1$$

Шаг 2. Найдём первообразную постоянной функции:

$$\int 1 \, dx = x + C$$

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = x + 2$$

б) $y = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$

Шаг 1. Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin x$$

Значит:

$$f(x) = \sin x$$

Шаг 2. Найдём первообразную $\sin x$:

$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$

Ответ:

$$F(x) = -\cos x + 1$$

в) $y = 1 + \tg^2 x$

Шаг 1. Применяем тригонометрическое тождество:

$$1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Следовательно:

$$f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Шаг 2. Используем известный интеграл:

$$\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tg x + C$$

Ответ:

$$F(x) = \tg x + 3$$

г) $y = 1 + \ctg^2 x$

Шаг 1. Используем тригонометрическое тождество:

$$1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$$

Значит:

$$f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$$

Шаг 2. Вспомним формулу интегрирования:

$$\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\ctg x + C$$

Ответ:

$$F(x) = -\ctg x + 5$$