ГДЗ 10-11 Класс Номер 48.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти хотя бы одну первообразную функции:

а) $f(x) = \sin\left(3x + \dfrac{\pi}{6} \right)$;

Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{1}{3} \cdot \left(-\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)\right) + C = -\frac{1}{3} \cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + C;$$

Ответ: $F(x) = -\dfrac{1}{3} \cos\left(3x + \dfrac{\pi}{6} \right) + \dfrac{1}{4}$

б) $f(x) = \cos\left( \dfrac{\pi}{4} — 2x \right)$;

Все первообразные функции:

$$F(x) = -\frac{1}{2} \sin\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right) + C;$$

Ответ: $F(x) = -\dfrac{1}{2} \sin\left( \dfrac{\pi}{4} — 2x \right) + 4$

в) $f(x) = \cos(4x — 3)$;

Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{1}{4} \sin(4x — 3) + C;$$

Ответ: $F(x) = \dfrac{1}{4} \sin(4x — 3) + 1$

г) $f(x) = \sin\left(2 — \dfrac{x}{2}\right)$;

Все первообразные функции:

$$F(x) = 1 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \left( -\cos\left(2 — \frac{x}{2} \right) \right) + C = 2 \cos\left(2 — \frac{x}{2} \right) + C;$$

Ответ: $F(x) = 2 \cos\left(2 — \dfrac{x}{2} \right) + 2$

а) $f(x) = \sin\left(3x + \dfrac{\pi}{6} \right)$

Шаг 1. В функции под знаком синуса стоит сложное выражение:

$$u = 3x + \frac{\pi}{6}$$

Шаг 2. Тогда по правилу замены переменной (обратному правилу цепочки) интеграл имеет вид:

$$\int \sin(u) \cdot u'(x) \, dx = -\cos(u) + C$$

Шаг 3. В нашем случае:

$$u’ = \frac{d}{dx} \left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = 3$$

Чтобы компенсировать множитель $u’ = 3$, делим на него:

$$\int \sin(3x + \frac{\pi}{6}) \, dx = \frac{1}{3} \cdot \int \sin(u) \, du = \frac{1}{3} \cdot (-\cos(u)) + C$$ $$F(x) = -\frac{1}{3} \cos\left(3x + \frac{\pi}{6} \right) + C$$

Ответ: $F(x) = -\dfrac{1}{3} \cos\left(3x + \dfrac{\pi}{6} \right) + \dfrac{1}{4}$

б) $f(x) = \cos\left( \dfrac{\pi}{4} — 2x \right)$

Шаг 1. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = \frac{\pi}{4} — 2x, \quad \text{тогда } u’ = -2$$

Шаг 2. По правилу интегрирования сложной функции:

$$\int \cos(u(x)) \, dx = \frac{1}{u’} \cdot \sin(u(x)) + C$$ $$\int \cos\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right) dx = \frac{1}{-2} \cdot \sin\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right) + C = -\frac{1}{2} \sin\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right) + C$$

Ответ: $F(x) = -\dfrac{1}{2} \sin\left( \dfrac{\pi}{4} — 2x \right) + 4$

в) $f(x) = \cos(4x — 3)$

Шаг 1. Обозначим:

$$u = 4x — 3, \quad u’ = 4$$

Шаг 2. Применим правило:

$$\int \cos(u(x)) \, dx = \frac{1}{u’} \cdot \sin(u(x)) + C$$ $$\int \cos(4x — 3) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x — 3) + C$$

Ответ: $F(x) = \dfrac{1}{4} \sin(4x — 3) + 1$

г) $f(x) = \sin\left(2 — \dfrac{x}{2}\right)$

Шаг 1. Обозначим:

$$u = 2 — \frac{x}{2}, \quad u’ = -\frac{1}{2}$$

Шаг 2. Интеграл функции синуса:

$$\int \sin(u) \, dx = -\frac{1}{u’} \cdot \cos(u) + C$$ $$= -\frac{1}{ -\frac{1}{2} } \cdot \cos\left(2 — \frac{x}{2} \right) + C = 2 \cos\left(2 — \frac{x}{2} \right) + C$$

Ответ: $F(x) = 2 \cos\left(2 — \dfrac{x}{2} \right) + 2$