ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите определённый интеграл:

а)

$$\int_{-\frac{2}{3}}^{1} x^3 \, dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-\frac{2}{3}}^{1} = \frac{1^4}{4} — \left(-\frac{2}{3}\right)^4 : 4 = \frac{1}{4} — \frac{16}{81} : 4 = \frac{81 — 16}{324} = \frac{65}{324}$$

б)

$$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} = \int_{1}^{3} x^{-2} \, dx = \left. \frac{x^{-1}}{-1} \right|_{1}^{3} = -\left. \frac{1}{x} \right|_{1}^{3} = -\frac{1}{3} — \left(-\frac{1}{1}\right) = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

в)

$$\int_{-1}^{2} x^4 \, dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} — \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32 + 1}{5} = \frac{33}{5} = 6{,}6$$

г)

$${\int }_4^9\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Вычислить определенный интеграл:

а)

$$\int_{-\frac{2}{3}}^{1} x^3 \, dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-\frac{2}{3}}^{1} = \frac{1^4}{4} — \left(-\frac{2}{3}\right)^4 : 4 = \frac{1}{4} — \frac{16}{81} : 4 = \frac{81 — 16}{324} = \frac{65}{324}$$

Ответ: $\frac{65}{324}$

б)

$$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} = \int_{1}^{3} x^{-2} \, dx = \left. \frac{x^{-1}}{-1} \right|_{1}^{3} = -\left. \frac{1}{x} \right|_{1}^{3} = -\frac{1}{3} — \left(-\frac{1}{1}\right) = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в)

$$\int_{-1}^{2} x^4 \, dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} — \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32 + 1}{5} = \frac{33}{5} = 6{,}6$$

Ответ: $6{,}6$

г)

$$\int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int_{4}^{9} x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \left. \left(x^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2}\right) \right|_{4}^{9} = 2\sqrt{x} \Big|_{4}^{9} = 2\sqrt{9} — 2\sqrt{4} = 2(3 — 2) = 2$$

Ответ: $2$

а)

$$\int_{-\frac{2}{3}}^{1} x^3 \, dx$$

Шаг 1: Находим первообразную для $x^3$:

$$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$$

(константа нам не нужна при вычислении определённого интеграла)

Шаг 2: Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона–Лейбница:

$$\left. \frac{x^4}{4} \right|_{-\frac{2}{3}}^{1} = \frac{1^4}{4} — \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^4}{4}$$

Шаг 3: Вычисляем значения:

$$\frac{1^4}{4} = \frac{1}{4}, \quad \left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}, \quad \frac{16}{81} : 4 = \frac{16}{324}$$

Шаг 4: Вычитаем:

$$\frac{1}{4} — \frac{16}{324} = \frac{81}{324} — \frac{16}{324} = \frac{65}{324}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{65}{324}}$$

б)

$$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2}$$

Шаг 1: Переписываем подинтегральную функцию как степень:

$$\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$$

Шаг 2: Применяем формулу Ньютона–Лейбница:

$$\left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{3} = -\frac{1}{3} — \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{3} + 1$$

Шаг 3: Вычисляем разность:

$$1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2}{3}}$$

в)

$$\int_{-1}^{2} x^4 \, dx$$

Шаг 1: Первообразная для $x^4$:

$$\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C$$

Шаг 2: Подставляем пределы:

$$\left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} — \frac{(-1)^5}{5}$$

Шаг 3: Вычисляем значения:

$$2^5 = 32,\quad (-1)^5 = -1,\quad \frac{32 — (-1)}{5} = \frac{33}{5}$$

Шаг 4: Записываем в десятичной форме:

$$\frac{33}{5} = 6{,}6$$

Ответ:

$$\boxed{6{,}6}$$

г)

$$\int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Шаг 1: Записываем как степень:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}},\quad \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$$

Шаг 2: Подставляем пределы интегрирования:

$$\left. 2\sqrt{x} \right|_{4}^{9} = 2\sqrt{9} — 2\sqrt{4}$$

Шаг 3: Вычисляем:

$$2 \cdot 3 — 2 \cdot 2 = 6 — 4 = 2$$

Ответ:

$$\boxed{2}$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{65}{324}$
б) $\frac{2}{3}$
в) $6{,}6$
г) $2$