ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = 1 + \frac{1}{2} \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$;

Нули функции:

$$1 + \frac{1}{2} \cos x = 0; \\ \cos x = -2; \\ x \in \varnothing;$$

На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$:

$$1 + \frac{1}{2} \cos x \geq 0;$$

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \frac{1}{2} \cos x\right) dx = \left(x + \frac{1}{2} \sin x\right)\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}};$$ $$S = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}\right) — \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right);$$ $$S = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{\pi}{2} — \frac{1}{2} \cdot (-1) = \pi + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \pi + 1;$$

Ответ: $\pi + 1$.

б) $y = 1 — \sin 2x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \pi$;

Нули функции:

$$1 — \sin 2x = 0; \\ \sin 2x = 1; \\ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

На отрезке $[0; \pi]$:

$$1 — \sin 2x \geq 0;$$

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^\pi (1 — \sin 2x) dx = \left(x — \frac{1}{2} \cdot (-\cos 2x)\right)\Big|_0^\pi = (x + \cos 2x)\Big|_0^\pi;$$ $$S = (\pi + \cos 2\pi) — (0 + \cos(2 \cdot 0)) = \pi + 1 — \cos 0 = \pi + 1 — 1 = \pi;$$

Ответ: $\pi$.

а) $y = 1 + \dfrac{1}{2} \cos x$, $y = 0$, $x = -\dfrac{\pi}{2}$, $x = \dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1. Найдём, когда функция $y = 1 + \dfrac{1}{2} \cos x$ равна нулю:

$$1 + \frac{1}{2} \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -2$$

Но $\cos x \in [-1; 1]$, а число $-2$ не принадлежит этому промежутку.
Значит:

$$x \in \varnothing$$

То есть функция не пересекает ось $x$, а значит:

$$1 + \frac{1}{2} \cos x > 0 \text{ на всём отрезке } \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$$

Шаг 2. Функция непрерывна и положительна, значит площадь фигуры равна определённому интегралу:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \frac{1}{2} \cos x\right)\,dx$$

Шаг 3. Разделим интеграл на два слагаемых:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1\,dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \cos x\,dx$$

Шаг 4. Найдём первообразные:

$$\int 1\,dx = x, \quad \int \cos x\,dx = \sin x$$

Значит:

$$S = \left. x \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2} \left. \sin x \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$$

Шаг 5. Вычислим каждую часть:

$$x \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} — \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$$

$$\sin x \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} — \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 — (-1) = 2$$

$$\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$

Шаг 6. Сложим всё:

$$S = \pi + 1$$

Ответ: $\boxed{\pi + 1}$

б) $y = 1 — \sin 2x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \pi$

Шаг 1. Найдём, где $y = 1 — \sin 2x = 0$:

$$1 — \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 1$$

Решим уравнение:

$$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Значит, на отрезке $[0; \pi]$, $\sin 2x \leq 1$, поэтому:

$$1 — \sin 2x \geq 0$$

Шаг 2. Функция положительна, значит площадь выражается определённым интегралом:

$$S = \int_0^\pi (1 — \sin 2x)\,dx$$

Шаг 3. Разделим интеграл:

$$S = \int_0^\pi 1\,dx — \int_0^\pi \sin 2x\,dx$$

Шаг 4. Найдём первообразные:

$$\int 1\,dx = x, \quad \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2} \cos 2x$$

Шаг 5. Подставим в формулу:

$$S = \left. x \right|_0^\pi + \left. \left( \frac{1}{2} \cos 2x \right) \right|_0^\pi$$

Шаг 6. Вычислим значения:

$$x \Big|_0^\pi = \pi — 0 = \pi$$

$$\cos 2x \Big|_0^\pi = \cos 2\pi — \cos 0 = 1 — 1 = 0$$

Шаг 7. Итак:

$$S = \pi + 0 = \pi$$

Ответ: $\boxed{\pi}$