ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sqrt{x},\ y = 0,\ x = 4$;

б) $y = \frac{1}{x^2},\ y = 0,\ x = 1,\ x = 3$;

в) $y = \sqrt[3]{x},\ y = 1,\ x = 0$;

г) $y = \sqrt{x},\ y = 2,\ x = 0$

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = \sqrt{x},\ y = 0,\ x = 4$;
Нули функции:
$x = 0$;

На отрезке $[0;\ 4]$:
$\sqrt{x} \geq 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^4 \sqrt{x}\ dx = \int_0^4 x^{\frac{1}{2}}\ dx = \left( x^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2} \right)\bigg|_0^4 = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}\bigg|_0^4;$$ $$S = \frac{2}{3} \sqrt{4^3} — \frac{2}{3} \sqrt{0^3} = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} = \frac{8}{3} \cdot 2 = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3};$$

Ответ: $5\frac{1}{3}$.

б) $y = \frac{1}{x^2},\ y = 0,\ x = 1,\ x = 3$;
На отрезке $[1;\ 3]$:
$\frac{1}{x^2} > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_1^3 \frac{dx}{x^2} = \int_1^3 x^{-2}\ dx = \left. \frac{x^{-1}}{-1} \right|_1^3 = -\frac{1}{x}\bigg|_1^3 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{1} = \frac{2}{3};$$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) $y = \sqrt[3]{x},\ y = 1,\ x = 0$;
Точки пересечения:
$\sqrt[3]{x} = 1$;
$x = 1$;

На отрезке $[0;\ 1]$:
$\sqrt[3]{x} \leq 1$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^1 (1 — \sqrt[3]{x})\ dx = \int_0^1 \left(1 — x^{\frac{1}{3}}\right)\ dx = \left( x — \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right)\bigg|_0^1;$$ $$S = \left( x — \frac{3}{4} \sqrt[3]{x^4} \right)\bigg|_0^1 = 1 — \frac{3}{4} \cdot \sqrt[3]{1^4} = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4};$$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) $y = \sqrt{x},\ y = 2,\ x = 0$;
Точки пересечения:
$\sqrt{x} = 2$;
$x = 4$;

На отрезке $[0;\ 4]$:
$\sqrt{x} \leq 2$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^4 (2 — \sqrt{x})\ dx = \int_0^4 \left(2 — x^{\frac{1}{2}}\right)\ dx = \left( 2x — \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right)\bigg|_0^4;$$ $$S = \left( 2x — \frac{2}{3} \sqrt{x^3} \right)\bigg|_0^4 = 2 \cdot 4 — \frac{2}{3} \cdot \sqrt{4^3} = 8 — \frac{2 \cdot 4 \cdot 2}{3} = 8 — \frac{16}{3} = \frac{24 — 16}{3} = \frac{8}{3};$$

Ответ: $\frac{8}{3}$.

а) $y = \sqrt{x},\ y = 0,\ x = 4$

Шаг 1. Функция $y = \sqrt{x}$ определена и неотрицательна на отрезке $[0;\ 4]$, так как $x \geq 0$ и $\sqrt{x} \geq 0$.

Шаг 2. Нулевая линия: $y = 0$.
Функция пересекает ось $x$ при $\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$.

Шаг 3. Площадь между графиком функции и осью $x$ на отрезке $[0;\ 4]$ равна определённому интегралу:

$$S = \int_0^4 \sqrt{x}\ dx$$

Шаг 4. Представим подынтегральную функцию в виде степени:

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 5. Найдём первообразную:

$$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}$$

Шаг 6. Подставим пределы:

$$S = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} \Big|_0^4 = \frac{2}{3} \sqrt{4^3} — \frac{2}{3} \sqrt{0^3}$$

Шаг 7. Вычислим:

$$4^3 = 64,\quad \sqrt{64} = 8,\quad \sqrt{0^3} = 0$$ $$S = \frac{2}{3} \cdot 8 — 0 = \frac{16}{3}$$

Шаг 8. Переведём в смешанное число:

$$\frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}$$

Ответ: $\boxed{5\frac{1}{3}}$

б) $y = \frac{1}{x^2},\ y = 0,\ x = 1,\ x = 3$

Шаг 1. Функция $y = \frac{1}{x^2}$ определена и положительна на отрезке $[1;\ 3]$, поскольку $x > 0$, значит:

$$\frac{1}{x^2} > 0$$

Шаг 2. Площадь ограниченной фигуры задаётся интегралом:

$$S = \int_1^3 \frac{1}{x^2} dx$$

Шаг 3. Запишем в виде степени:

$$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$$

Шаг 4. Найдём первообразную:

$$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$$

Шаг 5. Подставим пределы:

$$S = -\frac{1}{x} \Big|_1^3 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{1} = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{2}{3}}$

в) $y = \sqrt[3]{x},\ y = 1,\ x = 0$

Шаг 1. Найдём точку пересечения графика с прямой $y = 1$:

$$\sqrt[3]{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 2. На отрезке $[0;\ 1]$, функция $\sqrt[3]{x} \leq 1$, так как кубический корень возрастает.

Шаг 3. Площадь между горизонтальной прямой $y = 1$ и графиком $y = \sqrt[3]{x}$ равна:

$$S = \int_0^1 (1 — \sqrt[3]{x}) dx$$

Шаг 4. Запишем в виде степени:

$$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}},\quad \text{значит } S = \int_0^1 (1 — x^{\frac{1}{3}}) dx$$

Шаг 5. Найдём первообразные:

$$\int 1\,dx = x,\quad \int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \sqrt[3]{x^4}$$

Шаг 6. Подставим:

$$S = \left( x — \frac{3}{4} \sqrt[3]{x^4} \right)\Big|_0^1$$

Шаг 7. Вычислим:

$$x = 1: \quad 1 — \frac{3}{4} \cdot \sqrt[3]{1^4} = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ $$x = 0: \quad 0 — 0 = 0$$

Шаг 8. Разность:

$$\frac{1}{4} — 0 = \frac{1}{4}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{4}}$

г) $y = \sqrt{x},\ y = 2,\ x = 0$

Шаг 1. Найдём точку пересечения:

$$\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$$

Шаг 2. На отрезке $[0;\ 4]$, $\sqrt{x} \leq 2$, поскольку функция возрастает и достигает значения 2 в точке 4.

Шаг 3. Площадь между прямой $y = 2$ и графиком $y = \sqrt{x}$:

$$S = \int_0^4 (2 — \sqrt{x}) dx$$

Шаг 4. Запишем:

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}},\quad S = \int_0^4 \left(2 — x^{\frac{1}{2}}\right) dx$$

Шаг 5. Найдём первообразные:

$$\int 2 dx = 2x,\quad \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}$$

Шаг 6. Подставим:

$$S = \left( 2x — \frac{2}{3} \sqrt{x^3} \right)\Big|_0^4$$

Шаг 7. Вычислим:

$$2 \cdot 4 — \frac{2}{3} \cdot \sqrt{4^3} = 8 — \frac{2}{3} \cdot \sqrt{64} = 8 — \frac{2}{3} \cdot 8 = 8 — \frac{16}{3}$$

Шаг 8. Приводим к общему знаменателю:

$$8 = \frac{24}{3},\quad \frac{24}{3} — \frac{16}{3} = \frac{8}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{8}{3}}$