ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = \frac{1}{x},\ y = 0,\ x = 1,\ x = e$;

На отрезке $[1; e]$:
$\frac{1}{x} > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = \ln|x| \Big|_{1}^{e} = \ln e — \ln 1 = 1 — 0 = 1;$$

Ответ: 1.

б) $y = \frac{1}{2x + 3},\ y = 0,\ x = -1,\ x = 3$;

На отрезке $[-1; 3]$:
$\frac{1}{2x + 3} > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-1}^{3} \frac{dx}{2x + 3} = \frac{1}{2} \ln|2x + 3| \Big|_{-1}^{3} = \frac{1}{2} \ln(2 \cdot 3 + 3) — \frac{1}{2} \ln(-1 \cdot 2 + 3);$$ $$S = \frac{1}{2} \ln 9 — \frac{1}{2} \ln 1 = \frac{1}{2} \ln 9 — \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} \ln 9 = \ln 9^{\frac{1}{2}} = \ln 3;$$

Ответ: $\ln 3$.

в) $y = \frac{2}{x},\ y = 0,\ x = e,\ x = e^2$;

На отрезке $[e; e^2]$:
$\frac{2}{x} > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{e}^{e^2} \frac{2}{x} dx = 2 \ln|x| \Big|_{e}^{e^2} = 2 \ln e^2 — 2 \ln e = 2 \cdot 2 — 2 \cdot 1 = 2;$$

Ответ: 2.

г) $y = \frac{1}{3x — 5},\ y = 0,\ x = 2,\ x = 5$;

На отрезке $[2; 5]$:
$\frac{1}{3x — 5} > 0$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{2}^{5} \frac{dx}{3x — 5} = \frac{1}{3} \ln|3x — 5| \Big|_{2}^{5} = \frac{1}{3} \ln(3 \cdot 5 — 5) — \frac{1}{3} \ln(3 \cdot 2 — 5);$$ $$S = \frac{1}{3} \ln 10 — \frac{1}{3} \ln 1 = \frac{1}{3} \ln 10 — \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{3} \ln 10;$$

Ответ: $\frac{1}{3} \ln 10$.

а) $y = \dfrac{1}{x},\ y = 0,\ x = 1,\ x = e$

Шаг 1. Функция $\frac{1}{x}$ определена и положительна на отрезке $[1;\ e]$, так как $x > 0 \Rightarrow \frac{1}{x} > 0$.

Шаг 2. Площадь между графиком функции и осью $x$ на отрезке $[1;\ e]$ равна определённому интегралу:

$$S = \int_1^e \frac{1}{x}\,dx$$

Шаг 3. Первообразная функции $\frac{1}{x}$ есть:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|$$

Шаг 4. Вычислим интеграл по пределам:

$$S = \ln|x| \Big|_1^e = \ln e — \ln 1$$

Шаг 5. Подставим значения:

$$\ln e = 1,\quad \ln 1 = 0 \Rightarrow S = 1 — 0 = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

б) $y = \dfrac{1}{2x + 3},\ y = 0,\ x = -1,\ x = 3$

Шаг 1. Проверим, что подынтегральная функция положительна на всём отрезке $[-1;\ 3]$:
Внизу: $2x + 3$, при $x = -1$: $2(-1) + 3 = 1$;
при $x = 3$: $2(3) + 3 = 9$;

$$\Rightarrow 2x + 3 > 0 \text{ на всём } [-1; 3]$$

Шаг 2. Интеграл:

$$S = \int_{-1}^{3} \frac{1}{2x + 3}\,dx$$

Шаг 3. Используем стандартную формулу:

$$\int \frac{1}{ax + b}\,dx = \frac{1}{a} \ln|ax + b|$$

Здесь: $a = 2, b = 3 \Rightarrow \frac{1}{2} \ln|2x + 3|$

Шаг 4. Подставим пределы:

$$S = \frac{1}{2} \ln|2x + 3| \Big|_{-1}^{3}$$

Шаг 5. Вычислим значения:

$$2 \cdot 3 + 3 = 9,\quad 2 \cdot (-1) + 3 = 1$$ $$S = \frac{1}{2} \ln 9 — \frac{1}{2} \ln 1 = \frac{1}{2} \ln 9 — 0 = \frac{1}{2} \ln 9$$

Шаг 6. Преобразуем:

$$\frac{1}{2} \ln 9 = \ln 9^{1/2} = \ln 3$$

Ответ: $\boxed{\ln 3}$

в) $y = \dfrac{2}{x},\ y = 0,\ x = e,\ x = e^2$

Шаг 1. Проверим знак функции:
На отрезке $[e;\ e^2]$, $x > 0 \Rightarrow \frac{2}{x} > 0$

Шаг 2. Интеграл:

$$S = \int_e^{e^2} \frac{2}{x} dx$$

Шаг 3. Вынесем множитель:

$$S = 2 \int_e^{e^2} \frac{1}{x} dx = 2 \ln|x| \Big|_e^{e^2}$$

Шаг 4. Подставим пределы:

$$S = 2 (\ln e^2 — \ln e) = 2 (2 — 1) = 2$$

Ответ: $\boxed{2}$

г) $y = \dfrac{1}{3x — 5},\ y = 0,\ x = 2,\ x = 5$

Шаг 1. Проверим знак функции на отрезке $[2;\ 5]$:

$$3x — 5 > 0 \text{ при } x > \frac{5}{3} \Rightarrow \text{всё верно}$$

Шаг 2. Интеграл:

$$S = \int_2^5 \frac{1}{3x — 5} dx$$

Шаг 3. Используем стандартную формулу:

$$\int \frac{1}{ax + b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax + b|$$

Здесь $a = 3$, $b = -5$, значит:

$$S = \frac{1}{3} \ln|3x — 5| \Big|_2^5$$

Шаг 4. Подставим значения:

$$3 \cdot 5 — 5 = 10,\quad 3 \cdot 2 — 5 = 1$$ $$S = \frac{1}{3} \ln 10 — \frac{1}{3} \ln 1 = \frac{1}{3} \ln 10$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{3} \ln 10}$