ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите площадь фигуры, изображённой на:

а) рис. 70;

б) рис. 71;

в) рис. 72;

г) рис. 73.

Найти площадь фигуры, изображенной:

а) На рисунке 70;
Фигура ограничена линиями:
$y = x^3$, $y = 8$, $x = 0$, $x = 2$;
На отрезке $[0; 2]$:
$x^3 \leq 8$;
Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^2 (8 — x^3)\,dx = \left(8x — \frac{x^4}{4}\right)\Big|_0^2;$$ $$S = \left(8 \cdot 2 — \frac{2^4}{4}\right) — \left(8 \cdot 0 — \frac{0^4}{4}\right) = 16 — \frac{16}{4} = 16 — 4 = 12;$$

Ответ: 12.

б) На рисунке 71;
Фигура ограничена линиями:
$y = \sin x$, $y = 1$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;
На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$:
$\sin x \leq 1$;
Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 — \sin x)\,dx = (x — (-\cos x))\Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = (x + \cos x)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}};$$ $$S = \left(\frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}\right) — (0 + \cos 0) = \frac{\pi}{2} + 0 — 0 — 1 = \frac{\pi}{2} — 1;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} — 1$.

в) На рисунке 72;
Фигура ограничена линиями:
$y = x^2$, $y = 4$, $x = -2$, $x = 2$;
На отрезке $[-2; 2]$:
$x^2 \leq 4$;
Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-2}^2 (4 — x^2)\,dx = \left(4x — \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^2;$$ $$S = \left(4 \cdot 2 — \frac{2^3}{3}\right) — \left(-2 \cdot 4 — \frac{(-2)^3}{3}\right);$$ $$S = 8 — \frac{8}{3} + 8 — \frac{8}{3} = 16 — \frac{16}{3} = \frac{48}{3} — \frac{16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3};$$

Ответ: $10\frac{2}{3}$.

г) На рисунке 73;
Фигура ограничена линиями:
$y = \sin x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \pi$;
На отрезке $[0; \pi]$:
$\sin x \geq 0$;
Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^\pi \sin x\,dx = -\cos x\Big|_0^\pi;$$ $$S = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2;$$

Ответ: 2.

а) На рисунке 70

Фигура ограничена линиями:

• $y = x^3$ — нижняя граница,
• $y = 8$ — верхняя граница,
• $x = 0$ и $x = 2$ — вертикальные границы.

Шаг 1. Уточнение:

Нам дана фигура между графиком $y = x^3$ и прямой $y = 8$ на отрезке $x \in [0;\ 2]$.

Шаг 2. Проверка положения графиков:

На этом отрезке:

$$x^3 \leq 8 \quad \text{(так как при } x = 2,\ x^3 = 8 \text{)} \Rightarrow \text{график } y = x^3 \text{ лежит ниже } y = 8$$

Шаг 3. Площадь между двумя графиками:

$$S = \int_0^2 \left(8 — x^3\right)\, dx$$

Шаг 4. Интегрируем:

$$\int (8 — x^3)\,dx = 8x — \frac{x^4}{4}$$

Шаг 5. Подставим пределы:

$$S = \left(8x — \frac{x^4}{4}\right)\Big|_0^2 = \left(8 \cdot 2 — \frac{2^4}{4}\right) — \left(0 — 0\right)$$ $$S = 16 — \frac{16}{4} = 16 — 4 = 12$$

Ответ: $\boxed{12}$

б) На рисунке 71

Фигура ограничена линиями:

• $y = \sin x$ — нижняя граница,
• $y = 1$ — верхняя граница,
• $x = 0$, $x = \dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1. Уточнение:

Ищем площадь между прямой $y = 1$ и синусоидой $y = \sin x$ на отрезке $[0;\ \frac{\pi}{2}]$

Шаг 2. Проверка:

На отрезке $[0;\ \frac{\pi}{2}]$:

$$0 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow \text{график } y = \sin x \text{ лежит ниже } y = 1$$

Шаг 3. Площадь:

$$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(1 — \sin x\right) dx$$

Шаг 4. Интегрируем:

$$\int (1 — \sin x) dx = x + \cos x$$

Шаг 5. Подставим пределы:

$$S = (x + \cos x)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}\right) — \left(0 + \cos 0\right)$$ $$S = \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) — (0 + 1) = \frac{\pi}{2} — 1$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2} — 1}$

в) На рисунке 72

Фигура ограничена линиями:

• $y = x^2$ — нижняя граница,
• $y = 4$ — верхняя граница,
• $x = -2$, $x = 2$

Шаг 1. Уточнение:

Площадь между $y = 4$ и $y = x^2$ на симметричном отрезке $[-2;\ 2]$

Шаг 2. Проверка:

На этом отрезке:

$$x^2 \leq 4 \Rightarrow y = x^2 \text{ находится ниже } y = 4$$

Шаг 3. Площадь:

$$S = \int_{-2}^{2} \left(4 — x^2\right) dx$$

Шаг 4. Интегрируем:

$$\int (4 — x^2)\, dx = 4x — \frac{x^3}{3}$$

Шаг 5. Подставим пределы:

$$S = \left(4x — \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^2$$

Вычисляем:

$$\left(4 \cdot 2 — \frac{8}{3}\right) — \left(-4 \cdot 2 — \frac{(-8)}{3}\right) = (8 — \frac{8}{3}) — (-8 + \frac{8}{3}) = (8 + 8) — \left(\frac{8}{3} + \frac{8}{3}\right) = 16 — \frac{16}{3}$$ $$S = \frac{48}{3} — \frac{16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$$

Ответ: $\boxed{10\frac{2}{3}}$

г) На рисунке 73

Фигура ограничена линиями:

• $y = \sin x$
• $y = 0$ (ось $x$)
• $x = 0$, $x = \pi$

Шаг 1. Уточнение:

Площадь под графиком $y = \sin x$ от 0 до $\pi$

Шаг 2. Проверка:

На отрезке $[0;\ \pi]$:

$$\sin x \geq 0 \Rightarrow \text{график находится над осью } x$$

Шаг 3. Площадь:

$$S = \int_0^\pi \sin x\,dx$$

Шаг 4. Интегрируем:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x$$

Шаг 5. Подставим пределы:

$$S = -\cos x\Big|_0^\pi = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2$$

Ответ: $\boxed{2}$

Итоги:

• а) $\boxed{12}$
• б) $\boxed{\frac{\pi}{2} — 1}$
• в) $\boxed{10\frac{2}{3}}$
• г) $\boxed{2}$