ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить определенный интеграл:

а)

$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = -\cos x \Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\cos \pi — \left(-\cos \frac{\pi}{2}\right) = -(-1) + 0 = 1$$

Ответ: 1.

б)

$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} — \operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) = 1 + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1 + 1 = 2$$

Ответ: 2.

в)

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} — \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \sin \frac{\pi}{2} = 1 + 1 = 2$$

Ответ: 2.

г)

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = -\operatorname{ctg} x \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} — \left(-\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}\right) = -0 + 1 = 1$$

Ответ: 1.

а)

$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx$$

Шаг 1: Найдём первообразную функции $\sin x$

$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$

Шаг 2: Используем формулу Ньютона–Лейбница для определённого интеграла:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) — F(a)$$

В нашем случае:

$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = \left[-\cos x\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\cos \pi — (-\cos \frac{\pi}{2})$$

Шаг 3: Подставим значения тригонометрических функций:

$$\cos \pi = -1,\quad \cos \frac{\pi}{2} = 0$$

Шаг 4: Подставим в выражение:

$$-(-1) — (-0) = 1 — 0 = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

б)

$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$$

Шаг 1: Узнаём функцию

$$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x = \text{производная от } \tan x$$

Значит:

$$\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C$$

Шаг 2: Применяем формулу Ньютона–Лейбница:

$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) — \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 3: Значения тангенсов:

$$\tan \frac{\pi}{4} = 1,\quad \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$$

Шаг 4: Вычисление:

$$1 — (-1) = 1 + 1 = 2$$

Ответ:

$$\boxed{2}$$

в)

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$$

Шаг 1: Первообразная от $\cos x$:

$$\int \cos x \, dx = \sin x + C$$

Шаг 2: Применим формулу:

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) — \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 3: Значения синусов:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1,\quad \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

Шаг 4: Вычисление:

$$1 — (-1) = 1 + 1 = 2$$

Ответ:

$$\boxed{2}$$

г)

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}$$

Шаг 1: Узнаём функцию

$$\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x = \text{производная от } -\cot x$$

Значит:

$$\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C$$

Шаг 2: Применим формулу:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cot \left(\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 3: Значения котангенсов:

$$\cot \frac{\pi}{2} = 0,\quad \cot \frac{\pi}{4} = 1$$

Шаг 4: Подставим:

$$-0 + 1 = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{1}$
б) $\boxed{2}$
в) $\boxed{2}$
г) $\boxed{1}$