ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = e^x$, $y = e^{-x}$, $x = 1$;

Точки пересечения:
$e^x = e^{-x}$;
$x = -x$;
$x = 0$;

На отрезке [0; 1]:
$e^x \geq e^{-x}$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^1 (e^x — e^{-x})\,dx = (e^x — (-e^{-x}))\big|_0^1 = (e^x + e^{-x})\big|_0^1;$$ $$S = (e^1 + e^{-1}) — (e^0 + e^0) = e + \frac{1}{e} — 2e^0 = \frac{e^2 + 1 — 2e}{e} = \frac{(e — 1)^2}{e};$$

Ответ: $\frac{(e — 1)^2}{e}$.

б) $y = \frac{1}{e^x}$, $y = 1$, $x = -1$;

Точки пересечения:
$\frac{1}{e^x} = 1$;
$e^x = 1$;
$x = 0$;

На отрезке [-1; 0]:
$\frac{1}{e^x} \geq 1$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-1}^0 \left( \frac{1}{e^x} — 1 \right)\,dx = \int_{-1}^0 (e^{-x} — 1)\,dx = (-e^{-x} — x)\big|_{-1}^0;$$ $$S = (-e^0 — 0) — (-e^{-(-1)} — (-1)) = -1 + e^1 — 1 = e — 2;$$

Ответ: $e — 2$.

в) $y = e^x$, $x + 2y = 2$, $x = 2$;

Одна из линий:
$x + 2y = 2$;
$2y = 2 — x$;
$y = 1 — \frac{x}{2}$;

Точки пересечения:
$e^x = 1 — \frac{x}{2}$;
$x = 0$;

На отрезке [0; 2]:
$e^x \geq 1 — \frac{x}{2}$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^2 \left( e^x — \left(1 — \frac{x}{2}\right) \right)\,dx = \left( e^x — x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \right)\big|_0^2 = \left( e^x — x + \frac{x^2}{4} \right)\big|_0^2;$$ $$S = \left( e^2 — 2 + \frac{2^2}{4} \right) — \left( e^0 — 0 + \frac{0^2}{4} \right) = (e^2 — 2 + 1) — 1 = e^2 — 2;$$

Ответ: $e^2 — 2$.

г) $y = e^x$, $y = -e^x$, $x = 0$, $x = 2$;

Точки пересечения:
$e^x = -e^x$;
$e^x = 0$;
$x \in \varnothing$;

На отрезке [0; 2]:
$e^x \geq -e^x$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^2 (e^x — (-e^x))\,dx = \int_0^2 2e^x\,dx = 2e^x\big|_0^2;$$ $$S = 2e^2 — 2e^0 = 2e^2 — 2 \cdot 1 = 2(e^2 — 1);$$

Ответ: $2(e^2 — 1)$.

а) $y = e^x$, $y = e^{-x}$, $x = 1$

Шаг 1: Найдём точку пересечения графиков

Приравниваем:

$$e^x = e^{-x} \Rightarrow e^x = \frac{1}{e^x} \Rightarrow e^{2x} = 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Шаг 2: Выбираем границы интегрирования

По условию: от $x = 0$ до $x = 1$

Шаг 3: Определяем верхнюю и нижнюю функции

На отрезке $[0; 1]$:

• $e^x$ возрастает от 1 до $e$
• $e^{-x}$ убывает от 1 до $\frac{1}{e}$

Следовательно:

• Верхняя функция: $e^x$
• Нижняя функция: $e^{-x}$

Шаг 4: Записываем интеграл площади

$$S = \int_0^1 \left( e^x — e^{-x} \right) dx$$

Шаг 5: Находим первообразную

$$\int e^x\,dx = e^x,\quad \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} \Rightarrow \text{вся первообразная: } e^x + e^{-x}$$

Шаг 6: Вычисляем определённый интеграл

$$S = \left( e^x + e^{-x} \right) \Big|_0^1 = (e + \frac{1}{e}) — (1 + 1) = e + \frac{1}{e} — 2$$

Шаг 7: Преобразуем выражение

Приводим к общему знаменателю:

$$e + \frac{1}{e} — 2 = \frac{e^2 + 1 — 2e}{e} = \frac{(e — 1)^2}{e}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{(e — 1)^2}{e}}$

б) $y = \frac{1}{e^x}$, $y = 1$, $x = -1$

Шаг 1: Найдём точку пересечения

$$\frac{1}{e^x} = 1 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$$

Шаг 2: Границы интегрирования: от $x = -1$ до $x = 0$

Шаг 3: Определим разницу между функциями

$$\text{Верхняя функция: } \frac{1}{e^x} = e^{-x},\quad \text{нижняя: } 1 \Rightarrow S = \int_{-1}^0 \left( e^{-x} — 1 \right) dx$$

Шаг 4: Находим первообразную

$$\int e^{-x} dx = -e^{-x},\quad \int 1 dx = x \Rightarrow \text{вся первообразная: } -e^{-x} — x$$

Шаг 5: Вычисляем интеграл

$$S=(-e^{-x}-x){\mid }_{-1}^0=(-1-0)-(-e-(-1))=-1-(-e+1)=$$

$$S = (-e^{-x} — x) \Big|_{-1}^0 = (-1 — 0) — (-e — (-1)) = -1 — (-e + 1) = -1 + e — 1 = e — 2$$

Ответ: $\boxed{e — 2}$

в) $y = e^x$, $x + 2y = 2$, $x = 2$

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение

$$x + 2y = 2 \Rightarrow 2y = 2 — x \Rightarrow y = 1 — \frac{x}{2}$$

Шаг 2: Найдём точку пересечения с $y = e^x$

$$e^x = 1 — \frac{x}{2} \Rightarrow x = 0 \quad \text{(графики пересекаются при } x = 0 \text{)}$$

Шаг 3: Границы: от $x = 0$ до $x = 2$

Шаг 4: Определим верхнюю и нижнюю функции

На $[0; 2]$:

• $e^x$ возрастает
• $1 — \frac{x}{2}$ убывает
  Следовательно, $e^x > 1 — \frac{x}{2}$

Шаг 5: Записываем интеграл площади

$$S = \int_0^2 \left( e^x — \left(1 — \frac{x}{2} \right) \right) dx = \int_0^2 \left( e^x — 1 + \frac{x}{2} \right) dx$$

Шаг 6: Разделим на 3 части

$$\int_0^2 e^x dx — \int_0^2 1 dx + \int_0^2 \frac{x}{2} dx$$

Найдём по отдельности:

1. $\int_0^2 e^x dx = e^x \Big|_0^2 = e^2 — 1$
2. $\int_0^2 1 dx = x \Big|_0^2 = 2$
3. $\int_0^2 \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \cdot \int_0^2 x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2} = 1$

Теперь складываем:

$$S = (e^2 — 1) — 2 + 1 = e^2 — 2$$

Ответ: $\boxed{e^2 — 2}$

г) $y = e^x$, $y = -e^x$, $x = 0$, $x = 2$

Шаг 1: Определим верхнюю и нижнюю границу

На всём отрезке $[0; 2]$:

• Верхняя: $y = e^x$
• Нижняя: $y = -e^x$

Шаг 2: Разность функций

$$e^x — (-e^x) = 2e^x$$

Шаг 3: Записываем интеграл

$$S = \int_0^2 2e^x dx = 2 \cdot \int_0^2 e^x dx = 2(e^x)\big|_0^2 = 2(e^2 — 1)$$

Ответ: $\boxed{2(e^2 — 1)}$