ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = e^x$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 2$, $x = 3$;

Точки пересечения:
$e^x = \frac{1}{x}$;
$e^{0.5} — \frac{1}{0.5} = \sqrt{e} — 2 < 0$;
$e^1 — \frac{1}{1} = e — 1 > 0$;
$0,5 < x < 1$;

На отрезке [2; 3]:
$e^x \geq \frac{1}{x}$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_2^3 \left( e^x — \frac{1}{x} \right) dx = (e^x — \ln|x|)\big|_2^3;$$ $$S = (e^3 — \ln 3) — (e^2 — \ln 2) = e^3 — e^2 + \ln \frac{2}{3};$$

Ответ: $e^3 — e^2 + \ln \frac{2}{3}$.

б) $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$, $x = 5$;

Точки пересечения:
$\frac{1}{x} = 1$;
$x = 1$;

На отрезке [1; 5]:
$\frac{1}{x} \leq 1$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_1^5 \left( 1 — \frac{1}{x} \right) dx = (x — \ln|x|)\big|_1^5;$$ $$S = (5 — \ln 5) — (1 — \ln 1) = 5 — \ln 5 — 1 + 0 = 4 — \ln 5;$$

Ответ: $4 — \ln 5$.

в) $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 4$;

Точки пересечения:
$\sqrt{x} = \frac{1}{x}$;
$x = 1$;

На отрезке [1; 4]:
$\sqrt{x} \geq \frac{1}{x}$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_1^4 \left( \sqrt{x} — \frac{1}{x} \right) dx = \int_1^4 \left( \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x} \right) dx = \left( x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{3}{2} — \ln|x| \right)\big|_1^4;$$ $$S = \left( \frac{2\sqrt{x^3}}{3} — \ln|x| \right)\big|_1^4 = \left( \frac{2\sqrt{4^3}}{3} — \ln 4 \right) — \left( \frac{2\sqrt{1^3}}{3} — \ln 1 \right);$$ $$S = \frac{2 \cdot 4 \cdot 2}{3} — \ln 4 — \frac{2 \cdot 1}{3} + 0 = \frac{14}{3} — \ln 4 = 4\frac{2}{3} — \ln 4;$$

Ответ: $4\frac{2}{3} — \ln 4$.

г) $y = -\frac{1}{x}$, $y = -1$, $x = e$;

Точки пересечения:
$-\frac{1}{x} = -1$;
$x = 1$;

На отрезке [1; e]:
$-\frac{1}{x} \geq -1$;

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_1^e \left( -\frac{1}{x} — (-1) \right) dx = \int_1^e \left( 1 — \frac{1}{x} \right) dx = (x — \ln|x|)\big|_1^e;$$ $$S = (e — \ln e) — (1 — \ln 1) = e — 1 — 1 + 0 = e — 2;$$

Ответ: $e — 2$.

а) $y = e^x$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 2$, $x = 3$

Площадь между двумя графиками равна разности интегралов:

$$S = \int_2^3 \left( e^x — \frac{1}{x} \right) dx$$

Вычислим интегралы по частям:

$$\int_2^3 e^x dx = e^3 — e^2,\quad \int_2^3 \frac{1}{x} dx = \ln 3 — \ln 2 = \ln \left( \frac{3}{2} \right)$$

Итоговая площадь:

$$S = e^3 — e^2 + \ln \left( \frac{2}{3} \right)$$

Ответ: $\boxed{e^3 — e^2 + \ln \frac{2}{3}}$

б) $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$, $x = 5$

Найдем точку пересечения:

$$\frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

Интеграл для площади:

$$S = \int_1^5 \left( 1 — \frac{1}{x} \right) dx$$

Результат:

$$\int_1^5 1 dx = 4,\quad \int_1^5 \frac{1}{x} dx = \ln 5 \Rightarrow S = 4 — \ln 5$$

Ответ: $\boxed{4 — \ln 5}$

в) $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 4$

Найдем точку пересечения:

$$\sqrt{x} = \frac{1}{x} \Rightarrow x^{3/2} = 1 \Rightarrow x = 1$$

Интеграл площади:

$$S = \int_1^4 \left( \sqrt{x} — \frac{1}{x} \right) dx$$

Посчитаем каждый член:

$$\int_1^4 \sqrt{x} dx = \int_1^4 x^{1/2} dx = \left. \frac{2}{3} x^{3/2} \right|_1^4 = \frac{2}{3}(8 — 1) = \frac{14}{3}$$ $$\int_1^4 \frac{1}{x} dx = \ln 4$$

Итоговая площадь:

$$S = \frac{14}{3} — \ln 4$$

Ответ: $\boxed{4\frac{2}{3} — \ln 4}$

г) $y = -\frac{1}{x}$, $y = -1$, $x = e$

Найдем точку пересечения:

$$-\frac{1}{x} = -1 \Rightarrow x = 1$$

Интеграл для площади:

$$S = \int_1^e \left( -\frac{1}{x} — (-1) \right) dx = \int_1^e \left( 1 — \frac{1}{x} \right) dx$$

Вычисление:

$$\int_1^e 1 dx = e — 1,\quad \int_1^e \frac{1}{x} dx = \ln e = 1 \Rightarrow S = e — 1 — 1 = e — 2$$

Ответ: $\boxed{e — 2}$