ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

а) $y = x^2 — 4x$, $y = -(x — 4)^2$;

Точки пересечения:
$x^2 — 4x = -(x — 4)^2$;
$x^2 — 4x = -x^2 + 8x — 16$;
$2x^2 — 12x + 16 = 0$;
$x^2 — 6x + 8 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда:
$x_1 = (6 — 2)/2 = 2$ и $x_2 = (6 + 2)/2 = 4$;
На отрезке $[2; 4]$:
$x^2 — 4x \leq -(x — 4)^2$;
Площадь искомой фигуры:
$S = \int_{2}^{4} \left( -(x — 4)^2 — (x^2 — 4x) \right) dx = \int_{2}^{4} (12x — 2x^2 — 16)\, dx$;
$S = \left(12 \cdot \frac{x^2}{2} — 2 \cdot \frac{x^3}{3} — 16x\right)\Big|_{2}^{4} = \left(6x^2 — \frac{2x^3}{3} — 16x\right)\Big|_{2}^{4}$;
$S = \left(6 \cdot 4^2 — \frac{2 \cdot 4^3}{3} — 16 \cdot 4\right) — \left(6 \cdot 2^2 — \frac{2 \cdot 2^3}{3} — 16 \cdot 2\right)$;
$S = 96 — \frac{128}{3} — 64 — 24 + \frac{16}{3} + 32 = 40 — \frac{112}{3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$;
Ответ: $2 \dfrac{2}{3}$.

б) $y = x^2 + 2x — 3$, $y = -x^2 + 2x + 5$;

Точки пересечения:
$x^2 + 2x — 3 = -x^2 + 2x + 5$;
$2x^2 = 8$;
$x^2 = 4$;
$x = \pm2$;
На отрезке $[-2; 2]$:
$x^2 + 2x — 3 \leq -x^2 + 2x + 5$;
Площадь искомой фигуры:
$S = \int_{-2}^{2} \left( (-x^2 + 2x + 5) — (x^2 + 2x — 3) \right) dx = \int_{-2}^{2} (8 — 2x^2)\, dx$;
$S = \left(8x — 2 \cdot \frac{x^3}{3} \right)\Big|_{-2}^{2} = \left(8 \cdot 2 — \frac{2 \cdot 2^3}{3} \right) — \left(8 \cdot (-2) — \frac{2 \cdot (-2)^3}{3} \right)$;
$S = 16 — \frac{16}{3} + 16 — \frac{16}{3} = 32 — \frac{32}{3} = 32 \cdot \frac{2}{3} = \frac{64}{3} = 21 \frac{1}{3}$;
Ответ: $21 \dfrac{1}{3}$.

а) $y = x^2 — 4x$, $y = -(x — 4)^2$

1. Найдём точки пересечения графиков

Приравниваем правые части:

$$x^2 — 4x = -(x — 4)^2$$

Раскроем квадрат справа:

$$x^2 — 4x = -(x^2 — 8x + 16) = -x^2 + 8x — 16$$

Переносим всё в одну сторону:

$$x^2 — 4x + x^2 — 8x + 16 = 0 \Rightarrow 2x^2 — 12x + 16 = 0$$

Разделим на 2:

$$x^2 — 6x + 8 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Найдём корни:

$$x_1 = \frac{6 — \sqrt{4}}{2} = \frac{6 — 2}{2} = 2,\quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Точки пересечения: $x = 2$, $x = 4$

2. Определим, какая функция выше на отрезке $[2; 4]$

Проверим в середине: $x = 3$

• $y_1 = x^2 — 4x = 9 — 12 = -3$
• $y_2 = -(x — 4)^2 = -(1)^2 = -1$

Значит:

• $y = x^2 — 4x$ — ниже
• $y = -(x — 4)^2$ — выше

3. Выражение для площади между графиками

$$S = \int_{2}^{4} \left[ -(x — 4)^2 — (x^2 — 4x) \right] dx$$

4. Упростим подынтегральное выражение

Раскроем скобки:

• $-(x — 4)^2 = -x^2 + 8x — 16$
• Минус перед второй скобкой: $-(x^2 — 4x) = -x^2 + 4x$

Суммируем:

$$(-x^2 + 8x — 16) + (-x^2 + 4x) = -2x^2 + 12x — 16$$

Итак:

$$S = \int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x — 16)\, dx$$

5. Находим первообразную

$$\int (-2x^2 + 12x — 16)\, dx = -\frac{2x^3}{3} + 6x^2 — 16x$$

6. Подставим пределы интегрирования

$$S = \left(-\frac{2x^3}{3} + 6x^2 — 16x\right)\Big|_{2}^{4}$$

Сначала подставим $x = 4$:

$$-\frac{2 \cdot 64}{3} + 6 \cdot 16 — 16 \cdot 4 = -\frac{128}{3} + 96 — 64$$

Теперь $x = 2$:

$$-\frac{2 \cdot 8}{3} + 6 \cdot 4 — 16 \cdot 2 = -\frac{16}{3} + 24 — 32$$

Считаем:

• Левая граница:

$$-\frac{128}{3} + 96 — 64 = (-\frac{128}{3} + 32)$$

• Правая граница:

$$-\frac{16}{3} + 24 — 32 = -\frac{16}{3} — 8$$

Теперь найдём разность:

$$S = \left(-\frac{128}{3} + 32\right) — \left(-\frac{16}{3} — 8\right) = -\frac{128}{3} + 32 + \frac{16}{3} + 8$$

Собираем:

$$= \left(-\frac{128}{3} + \frac{16}{3}\right) + (32 + 8) = -\frac{112}{3} + 40$$

Приведём $40$ к дроби:

$$40 = \frac{120}{3} \Rightarrow S = \frac{120 — 112}{3} = \frac{8}{3}$$

Ответ: $\dfrac{8}{3} = 2\dfrac{2}{3}$

б) $y = x^2 + 2x — 3$, $y = -x^2 + 2x + 5$

1. Найдём точки пересечения графиков

Приравниваем правые части:

$$x^2 + 2x — 3 = -x^2 + 2x + 5$$

Переносим всё в одну сторону:

$$x^2 + 2x — 3 + x^2 — 2x — 5 = 0 \Rightarrow 2x^2 — 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$

2. Определим, какая функция выше на отрезке $[-2; 2]$

Проверим в середине: $x = 0$

• $y_1 = 0 + 0 — 3 = -3$
• $y_2 = 0 + 0 + 5 = 5$

Значит:

• $y = x^2 + 2x — 3$ — ниже
• $y = -x^2 + 2x + 5$ — выше

3. Выражение для площади между графиками

$$S = \int_{-2}^{2} \left[(-x^2 + 2x + 5) — (x^2 + 2x — 3)\right] dx$$

Упростим:

$$= \int_{-2}^{2} (-2x^2 + 8)\, dx$$

4. Первообразная

$$\int (-2x^2 + 8)\,dx = -\frac{2x^3}{3} + 8x$$

5. Подставим пределы:

$$S = \left(-\frac{2x^3}{3} + 8x\right)\Big|_{-2}^{2}$$

Верхняя граница $x = 2$:

$$-\frac{2 \cdot 8}{3} + 8 \cdot 2 = -\frac{16}{3} + 16$$

Нижняя граница $x = -2$:

$$-\frac{2 \cdot (-8)}{3} + 8 \cdot (-2) = \frac{16}{3} — 16$$

Разность:

$$\left(-\frac{16}{3} + 16\right) — \left(\frac{16}{3} — 16\right) = -\frac{16}{3} + 16 — \frac{16}{3} + 16 = -\frac{32}{3} + 32$$

Приводим к общей дроби:

$$S = \frac{96 — 32}{3} = \frac{64}{3}$$

Ответ: $\dfrac{64}{3} = 21\dfrac{1}{3}$