ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

а) $y = x^2 — 6x + 9$, $y = (x + 1)(3 — x)$;

Точки пересечения:
$x^2 — 6x + 9 = (x + 1)(3 — x)$;
$(x — 3)^2 = -(x + 1)(x — 3)$;
$(x — 3)(x — 3 + x + 1) = 0$;
$(x — 3)(2x — 2) = 0$;
$2(x — 1)(x — 3) = 0$;
$x_1 = 1$ и $x_2 = 3$;
На отрезке $[1; 3]$:
$x^2 — 6x + 9 \leq (x + 1)(3 — x)$;
Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{1}^{3} \left((x + 1)(3 — x) — (x^2 — 6x + 9)\right)\,dx = \int_{1}^{3} (8x — 2x^2 — 6)\,dx;$$ $$S = \left(8 \cdot \frac{x^2}{2} — 2 \cdot \frac{x^3}{3} — 6x\right)\Big|_{1}^{3} = \left(4x^2 — \frac{2x^3}{3} — 6x\right)\Big|_{1}^{3};$$ $$S = \left(4 \cdot 9 — \frac{2 \cdot 27}{3} — 18\right) — \left(4 \cdot 1 — \frac{2 \cdot 1}{3} — 6\right);$$ $$S = (36 — 18 — 18) — (4 — \frac{2}{3} — 6) = 0 — (-2 + \frac{2}{3}) = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3};$$

Ответ: $2 \dfrac{2}{3}$.

б) $y = x^2 — 4x + 3$, $y = -x^2 + 6x — 5$;

Точки пересечения:
$x^2 — 4x + 3 = -x^2 + 6x — 5$;
$2x^2 — 10x + 8 = 0$;
$x^2 — 5x + 4 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$x_1 = (5 — 3)/2 = 1$ и $x_2 = (5 + 3)/2 = 4$;
На отрезке $[1; 4]$:
$x^2 — 4x + 3 \leq -x^2 + 6x — 5$;
Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{1}^{4} \left((-x^2 + 6x — 5) — (x^2 — 4x + 3)\right)\,dx = \int_{1}^{4} (10x — 2x^2 — 8)\,dx;$$ $$S = \left(10 \cdot \frac{x^2}{2} — 2 \cdot \frac{x^3}{3} — 8x\right)\Big|_{1}^{4} = \left(5x^2 — \frac{2x^3}{3} — 8x\right)\Big|_{1}^{4};$$ $$S = \left(5 \cdot 16 — \frac{2 \cdot 64}{3} — 32\right) — \left(5 \cdot 1 — \frac{2 \cdot 1}{3} — 8\right);$$ $$S = (80 — \frac{128}{3} — 32) — (5 — \frac{2}{3} — 8) = (48 — \frac{128}{3}) — (-3 + \frac{2}{3}) = 48 — \frac{128}{3} + 3 — \frac{2}{3};$$ $$S = 51 — \frac{130}{3} = \frac{153 — 130}{3} = \frac{23}{3} = 9 \dfrac{2}{3};$$

Ответ: $9$.

а) $y = x^2 — 6x + 9$, $y = (x + 1)(3 — x)$

1. Найдём точки пересечения графиков

Приравниваем правые части:

$$x^2 — 6x + 9 = (x + 1)(3 — x)$$

Распишем правую часть:

$$(x+1)(3-x)=(x+1)(-x+3)=x(-x+3)+1(-x+3)=$$

$$(x + 1)(3 — x) = (x + 1)(-x + 3) = x(-x + 3) + 1(-x + 3) = -x^2 + 3x — x + 3 = -x^2 + 2x + 3$$

Левая часть: $x^2 — 6x + 9$

Сравним:

$$x^2 — 6x + 9 = -x^2 + 2x + 3$$

Переносим всё влево:

$$x^2 — 6x + 9 + x^2 — 2x — 3 = 2x^2 — 8x + 6 = 0$$

Разделим на 2:

$$x^2 — 4x + 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$ $$x_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Точки пересечения: $x = 1$, $x = 3$

2. Какая функция выше на отрезке [1; 3]?

Проверим в середине — возьмём $x = 2$:

• $y_1 = x^2 — 6x + 9 = 4 — 12 + 9 = 1$
• $y_2 = (x + 1)(3 — x) = (2 + 1)(3 — 2) = 3 \cdot 1 = 3$

Следовательно:

• $y = x^2 — 6x + 9$ — ниже
• $y = (x + 1)(3 — x)$ — выше

3. Запишем выражение для площади

$$S = \int_{1}^{3} \left[(x + 1)(3 — x) — (x^2 — 6x + 9)\right] dx$$

Упростим подынтегральное выражение:

Как уже нашли выше:

• $(x + 1)(3 — x) = -x^2 + 2x + 3$

Подставим:

$$S = \int_{1}^{3} \left[-x^2 + 2x + 3 — (x^2 — 6x + 9)\right] dx$$

Раскроем скобки:

$$= \int_{1}^{3} \left[-x^2 + 2x + 3 — x^2 + 6x — 9\right] dx = \int_{1}^{3} \left[-2x^2 + 8x — 6\right] dx$$

4. Найдём первообразную

$$\int (-2x^2 + 8x — 6)\, dx = -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 — 6x$$

5. Вычислим определённый интеграл

$$S = \left(-\frac{2x^3}{3} + 4x^2 — 6x\right) \Big|_{1}^{3}$$

Верхний предел: $x = 3$

$$-\frac{2 \cdot 27}{3} + 4 \cdot 9 — 6 \cdot 3 = -18 + 36 — 18 = 0$$

Нижний предел: $x = 1$

$$-\frac{2 \cdot 1}{3} + 4 \cdot 1 — 6 \cdot 1 = -\frac{2}{3} + 4 — 6 = -\frac{2}{3} — 2 = -\frac{8}{3}$$

Разность:

$$S = 0 — \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$$

Ответ: $\dfrac{8}{3} = 2 \dfrac{2}{3}$

б) $y = x^2 — 4x + 3$, $y = -x^2 + 6x — 5$

1. Найдём точки пересечения

Приравниваем:

$$x^2 — 4x + 3 = -x^2 + 6x — 5$$

Переносим всё влево:

$$x^2 — 4x + 3 + x^2 — 6x + 5 = 2x^2 — 10x + 8 = 0$$

Разделим на 2:

$$x^2 — 5x + 4 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$$

Корни:

$$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

Точки пересечения: $x = 1$, $x = 4$

2. Какая функция выше на отрезке [1; 4]?

Проверим в середине — $x = 2$:

• $y_1 = 4 — 8 + 3 = -1$
• $y_2 = -4 + 12 — 5 = 3$

Значит:

• $y = x^2 — 4x + 3$ — ниже
• $y = -x^2 + 6x — 5$ — выше

3. Составим выражение для площади

$$S = \int_{1}^{4} \left[(-x^2 + 6x — 5) — (x^2 — 4x + 3)\right] dx$$

Раскроем скобки:

$$= \int_{1}^{4} \left[-x^2 + 6x — 5 — x^2 + 4x — 3\right] dx = \int_{1}^{4} \left[-2x^2 + 10x — 8\right] dx$$

4. Найдём первообразную

$$\int (-2x^2 + 10x — 8)\,dx = -\frac{2x^3}{3} + 5x^2 — 8x$$

5. Вычислим определённый интеграл

$$S = \left(-\frac{2x^3}{3} + 5x^2 — 8x\right)\Big|_{1}^{4}$$

Верхний предел $x = 4$:

$$-\frac{2 \cdot 64}{3} + 5 \cdot 16 — 8 \cdot 4 = -\frac{128}{3} + 80 — 32 = -\frac{128}{3} + 48$$

Нижний предел $x = 1$:

$$-\frac{2}{3} + 5 — 8 = -\frac{2}{3} — 3 = -\frac{11}{3}$$

Разность:

$$S=(-\frac{128}{3}+48)-(-\frac{11}{3})=-\frac{128}{3}+48+\frac{11}{3}=(48+\frac{11-128}{3})=$$

$$S = \left(-\frac{128}{3} + 48\right) — \left(-\frac{11}{3}\right) = -\frac{128}{3} + 48 + \frac{11}{3} = \left(48 + \frac{11 — 128}{3}\right) = 48 — \frac{117}{3} = 48 — 39 = 9$$

Ответ: $9$