ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

а) $y = 3 — x^2$, $y = 1 + |x|$;
Обе функции являются чётными:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;
$y(-x) = 3 — (-x)^2 = 3 — x^2 = y(x)$;
$y(-x) = 1 + |-x| = 1 + x = y(x)$;

Точки пересечения ( $x \geq 0$ ):

$$3 — x^2 = 1 + x; \quad x^2 + x — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\quad \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

$x = 1$;
На отрезке $[0; 1]$:
$3 — x^2 \geq 1 + x$;

Площадь искомой фигуры:

$$S_1 = \int_0^1 \left((3 — x^2) — (1 + x)\right)dx = \int_0^1 (2 — x^2 — x)\,dx;$$ $$S_1 = \left(2x — \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1 = 2 \cdot 1 — \frac{1^3}{3} — \frac{1^2}{2};$$ $$= \frac{12}{6} — \frac{2}{6} — \frac{3}{6} = \frac{7}{6}; \quad S = 2S_1 = 2 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3};$$

Ответ: $2 \dfrac{1}{3}$.

б) $y = x^2$, $y = 2 — |x|$;
Обе функции являются чётными:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;
$y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$;
$y(-x) = 2 — |-x| = 2 — |x| = y(x)$;

Точки пересечения ( $x \geq 0$ ):

$$x^2 = 2 — x; \quad x^2 + x — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\quad \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

$x = 1$;
На отрезке $[0; 1]$:
$x^2 \leq 2 — x$;

Площадь искомой фигуры:

$$S_1 = \int_0^1 \left((2 — x) — x^2\right)dx = \int_0^1 (2 — x^2 — x)\,dx;$$ $$S_1 = \left(2x — \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1 = 2 \cdot 1 — \frac{1^3}{3} — \frac{1^2}{2};$$ $$= \frac{12}{6} — \frac{2}{6} — \frac{3}{6} = \frac{7}{6}; \quad S = 2S_1 = 2 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3};$$

Ответ: $2 \dfrac{1}{3}$.

а) $y = 3 — x^2$, $y = 1 + |x|$

1. Симметрия функций

Проверим чётность функций:

• $y = 3 — x^2$:
  $y(-x) = 3 — (-x)^2 = 3 — x^2 = y(x)$ — функция чётная.
• $y = 1 + |x|$:
  $y(-x) = 1 + |-x| = 1 + |x| = y(x)$ — функция чётная.

Обе функции чётные ⇒ фигура симметрична относительно оси $y$.
Значит, можно вычислить площадь только на отрезке $[0; 1]$, а затем удвоить результат:

$$S = 2S_1,\quad \text{где } S_1 = \text{площадь на } [0; 1]$$

2. Найдём точки пересечения

Рассматриваем только $x \geq 0$:

Приравниваем:

$$3-x^2=1+x\Rightarrow 3-x^2-1-x=0\Rightarrow -x^2-x+2=0\Rightarrow$$

$$3 — x^2 = 1 + x \Rightarrow 3 — x^2 — 1 — x = 0 \Rightarrow -x^2 — x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + x — 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Нас интересует $x = 1$, так как рассматриваем $x \geq 0$.

3. Определим, какая функция выше на отрезке $[0; 1]$

Проверим в точке $x = 0.5$:

• $y_1 = 3 — x^2 = 3 — 0.25 = 2.75$
• $y_2 = 1 + |x| = 1 + 0.5 = 1.5$

Следовательно, на отрезке $[0; 1]$:

$$3 — x^2 \geq 1 + x$$

4. Составим выражение для площади на $[0; 1]$

Разность верхней и нижней функции:

$$S_1={\int }_0^1[(3-x^2)-(1+x)]dx={\int }_0^1(2-x^2-x)dx$$

5. Найдём первообразную

$$\int (2 — x^2 — x)\,dx = \int 2\,dx — \int x^2\,dx — \int x\,dx$$ $$= 2x — \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} + C$$

6. Подставим пределы интегрирования $[0; 1]$

$$S_1 = \left(2x — \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1$$

Подставим $x = 1$:

$$2 \cdot 1 — \frac{1^3}{3} — \frac{1^2}{2} = 2 — \frac{1}{3} — \frac{1}{2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$2 = \frac{12}{6},\quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6},\quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \Rightarrow S_1 = \frac{12 — 2 — 3}{6} = \frac{7}{6}$$

7. Удваиваем результат (из-за чётности)

$$S = 2S_1 = 2 \cdot \frac{7}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$$

Ответ: $\boxed{2 \dfrac{1}{3}}$

б) $y = x^2$, $y = 2 — |x|$

1. Симметрия функций

Проверим чётность:

• $y = x^2$:
  $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$ — чётная функция
• $y = 2 — |x|$:
  $y(-x) = 2 — |-x| = 2 — |x| = y(x)$ — чётная функция

⇒ область симметрична, считаем площадь на $[0; 1]$, затем удваиваем:

$$S = 2S_1$$

2. Найдём точки пересечения (при $x \geq 0$)

$$x^2 = 2 — x \Rightarrow x^2 + x — 2 = 0$$

Решаем:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = -2,\quad x_2 = 1$$

Нас интересует $x = 1$

3. Определим, какая функция выше на $[0; 1]$

Возьмём $x = 0.5$:

• $y_1 = x^2 = 0.25$
• $y_2 = 2 — x = 2 — 0.5 = 1.5$

Значит:

$$x^2 \leq 2 — x \text{ на } [0; 1]$$

4. Составим выражение для площади

$$S_1 = \int_0^1 \left[(2 — x) — x^2\right] dx = \int_0^1 (2 — x — x^2)\,dx$$

5. Первообразная

$$\int (2 — x — x^2)\,dx = 2x — \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} + C$$

6. Подставим пределы

$$S_1 = \left(2x — \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1 = 2 \cdot 1 — \frac{1}{2} — \frac{1}{3}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$2 = \frac{12}{6},\quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6},\quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \Rightarrow S_1 = \frac{12 — 3 — 2}{6} = \frac{7}{6}$$

7. Удваиваем

$$S = 2S_1 = 2 \cdot \frac{7}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$$

Ответ: $\boxed{2 \dfrac{1}{3}}$