ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $$$f(x) = \begin{cases} x^{2}, \text{ если } -3 \leq x \leq 2, \\ 6 — x, \text{ если } x > 2 \end{cases}$

$$\int_{-3}^{6} f(x) \, dx = \int_{2}^{6}(6 — x)\, dx + \int_{-3}^{2} x^{2} \, dx = \left.\left(6x — \frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{2}^{6} + \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-3}^{2} =$$ $$= \left(6 \cdot 6 — \frac{6^{2}}{2}\right) — \left(6 \cdot 2 — \frac{2^{2}}{2}\right) + \frac{2^{3}}{3} — \frac{(-3)^{3}}{3} = 36 — \frac{36}{2} — 12 + \frac{4}{2} + \frac{8}{3} + \frac{27}{3} =$$ $$= 24 — 18 + 2 + \frac{8}{3} + 9 = 17 + \frac{6 + 2}{3} = 17 + 2 + \frac{2}{3} = 19 \frac{2}{3};$$

Ответ: $19 \dfrac{2}{3}$

б) $$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, \text{ если } 0 < x \leq 1, \\ x^{3}, \text{ если } x > 1 \end{cases}$

$$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} x^{3} \, dx + \int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{2} x^{3} \, dx + \int_{\frac{1}{4}}^{1} x^{- \frac{1}{2}} \, dx =$$ $$= \left. \frac{x^{4}}{4} \right|_{1}^{2} + \left. \left( x^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} \right) \right|_{\frac{1}{4}}^{1} = \left. \frac{x^{4}}{4} \right|_{1}^{2} + \left. 2 \sqrt{x} \right|_{\frac{1}{4}}^{1} = \frac{2^{4}}{4} — \frac{1^{4}}{4} + 2 \sqrt{1} — 2 \sqrt{\frac{1}{4}} =$$ $$= \frac{16}{4} — \frac{1}{4} + 2 \cdot 1 — 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 — 0{,}25 + 2 — 1 = 4{,}75;$$

Ответ: 4,75.

а) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \leq x \leq 2 \\ 6 — x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Вычисляем:

$$\int_{-3}^{6} f(x)\, dx$$

Так как функция задана кусочно, разобьём интеграл:

$$\int_{-3}^{6} f(x)\, dx = \int_{-3}^{2} x^2\, dx + \int_{2}^{6} (6 — x)\, dx$$

1. Вычислим первый интеграл

$$\int_{-3}^{2} x^2\, dx$$

Найдём первообразную:

$$\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C$$

Подставим пределы интегрирования:

$$\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^{2} = \frac{2^3}{3} — \frac{(-3)^3}{3} = \frac{8}{3} — \frac{-27}{3} = \frac{8 + 27}{3} = \frac{35}{3}$$

2. Вычислим второй интеграл

$$\int_{2}^{6} (6 — x)\, dx$$

Разделим:

$$\int (6 — x)\, dx = \int 6\, dx — \int x\, dx = 6x — \frac{x^2}{2}$$

Подставим пределы:

$$\left(6x — \frac{x^2}{2}\right)\Big|_{2}^{6} = \left(6 \cdot 6 — \frac{6^2}{2}\right) — \left(6 \cdot 2 — \frac{2^2}{2}\right)$$

Считаем:

• $6 \cdot 6 = 36$
• $\frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$
• $6 \cdot 2 = 12$
• $\frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$$= (36 — 18) — (12 — 2) = 18 — 10 = 8$$

3. Суммируем

$$\int_{-3}^{6} f(x)\, dx = \int_{-3}^{2} x^2\, dx + \int_{2}^{6} (6 — x)\, dx = \frac{35}{3} + 8$$

Приведём 8 к дроби:

$$8 = \frac{24}{3} \Rightarrow \frac{35}{3} + \frac{24}{3} = \frac{59}{3}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{59}{3} = 19\dfrac{2}{3}}$

б) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \leq 1 \\ x^3, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Вычисляем:

$$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)\, dx$$

Разбиваем по частям, согласно областям определения:

$$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)\, dx = \int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx + \int_{1}^{2} x^3\, dx$$

1. Интеграл от $\frac{1}{\sqrt{x}}$ на $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$

Перепишем:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$$

Переходим к первообразной:

$$\int x^{-1/2}\, dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$$

Подставим пределы:

$$\left.2\sqrt{x}\right|_{1/4}^{1} = 2\sqrt{1} — 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 1 — 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 — 1 = 1$$

2. Интеграл от $x^3$ на $[1; 2]$

Переходим к первообразной:

$$\int x^3\, dx = \frac{x^4}{4}$$

Подставим пределы:

$$\left.\frac{x^4}{4}\right|_1^2 = \frac{2^4}{4} — \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} — \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

3. Суммируем

$$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)\, dx = \frac{15}{4} + 1 = \frac{15}{4} + \frac{4}{4} = \frac{19}{4}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{19}{4} = 4{,}75}$