ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите площадь параболического сегмента, изображённого на:

а) рис. 74;

б) рис. 75.

Найти площадь параболического сегмента, изображенного:

а) На рисунке 74;
Вершина параболы лежит в точке (1; 1):
$a = -1, \quad b = 1$;

$$y = k(x — a)^2 + b = k(x — 1)^2 + 1;$$

Парабола проходит через точку (0; 0):

$$0 = k(0 — 1)^2 + 1;$$ $$0 = k \cdot (-1)^2 + 1;$$ $$k = -1;$$

Прямая проходит через точки (0; -2) и (2; 0):

$$y = tx + m;$$ $$\begin{cases} -2 = t \cdot 0 + m \\ 0 = t \cdot 2 + m \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = -2 \\ 0 = 2t — 2 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$$

Уравнения данных функций:

$$y = -1 \cdot (x — 1)^2 + 1 = -x^2 + 2x — 1 + 1 = 2x — x^2;$$ $$y = 1 \cdot x — 2 = x — 2;$$

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-1}^{2} ((2x — x^2) — (x — 2))\,dx = \int_{-1}^{2} (2 + x — x^2)\,dx;$$ $$S = \left(2x + \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{2} = (2 \cdot 2 + \frac{2^2}{2} — \frac{2^3}{3}) — (2 \cdot (-1) + \frac{(-1)^2}{2} — \frac{(-1)^3}{3});$$ $$S = 4 + 2 — \frac{8}{3} + 2 — \frac{1}{2} — \left(-\frac{1}{3}\right) = 8 — \frac{1}{2} — 3 = 8 — 0{,}5 — 3 = 4{,}5;$$

Ответ: 4,5.

б) На рисунке 75;
Вершина параболы лежит в точке (1; -2):
$a = -1, \quad b = -2$;

$$y = k(x — a)^2 + b = k(x — 1)^2 — 2;$$

Парабола проходит через точку (0; -1):

$$-1 = k(0 — 1)^2 — 2;$$ $$1 = k \cdot (-1)^2;$$ $$k = 1;$$

Прямая проходит через точки (0; 1) и (1; 0):

$$y = tx + m;$$ $$\begin{cases} 1 = t \cdot 0 + m \\ 0 = t \cdot 1 + m \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = 1 \\ 0 = t + 1 \Rightarrow t = -1 \end{cases}$$

Уравнения данных функций:

$$y = 1 \cdot (x — 1)^2 — 2 = x^2 — 2x + 1 — 2 = x^2 — 2x — 1;$$ $$y = -1 \cdot x + 1 = 1 — x;$$

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-1}^{2} ((1 — x) — (x^2 — 2x — 1))\,dx = \int_{-1}^{2} (2 + x — x^2)\,dx;$$ $$S = \left(2x + \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{2} = (2 \cdot 2 + \frac{2^2}{2} — \frac{2^3}{3}) — (2 \cdot (-1) + \frac{(-1)^2}{2} — \frac{(-1)^3}{3});$$ $$S = 4 + 2 — \frac{8}{3} + 2 — \frac{1}{2} — \left(-\frac{1}{3}\right) = 8 — \frac{1}{2} — 3 = 8 — 0{,}5 — 3 = 4{,}5;$$

Ответ: 4,5.

а) На рисунке 74

Шаг 1. Задание вершины параболы

По условию, вершина параболы находится в точке $(1; 1)$.
Записываем уравнение параболы в вершиной форме:

$$y = k(x — a)^2 + b$$

где $a = 1$, $b = 1$. Подставляем:

$$y = k(x — 1)^2 + 1$$

Шаг 2. Определение коэффициента $k$

Парабола проходит через точку $(0; 0)$. Подставляем в уравнение:

$$0 = k(0 — 1)^2 + 1 \Rightarrow 0 = k \cdot 1 + 1 \Rightarrow k = -1$$

Шаг 3. Уравнение параболы

Подставим найденное значение $k$:

$$y=-1\cdot (x-1{)}^2+1\Rightarrow y=-(x^2-2x+1)+1\Rightarrow$$

$$y = -1 \cdot (x — 1)^2 + 1 \Rightarrow y = -(x^2 — 2x + 1) + 1 \Rightarrow y = -x^2 + 2x — 1 + 1 = 2x — x^2$$

Шаг 4. Уравнение прямой

Прямая проходит через точки $(0; -2)$ и $(2; 0)$.
Записываем общее уравнение прямой:

$$y = tx + m$$

Подставим координаты двух точек для определения коэффициентов:

Система:

$$\begin{cases} -2 = t \cdot 0 + m \\ 0 = t \cdot 2 + m \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = -2 \\ 0 = 2t — 2 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$$

Подставим значения $t$ и $m$:

$$y = 1 \cdot x — 2 = x — 2$$

Шаг 5. Уравнение разности функций

Найдем разность: $y_{\text{парабола}} — y_{\text{прямая}}$

$$(2x — x^2) — (x — 2) = 2x — x^2 — x + 2 = x — x^2 + 2 = 2 + x — x^2$$

Шаг 6. Определим границы интегрирования

Из графика (или как видно из точек пересечения), область ограничена от $x = -1$ до $x = 2$.

Шаг 7. Составим определённый интеграл

$$S = \int_{-1}^{2} \left((2x — x^2) — (x — 2)\right)\, dx = \int_{-1}^{2} (2 + x — x^2)\, dx$$

Шаг 8. Найдём первообразную

$$\int (2 + x — x^2) dx = 2x + \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3}$$

Шаг 9. Вычисление значения интеграла

Подставим пределы интегрирования:

$$S = \left(2x + \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{2}$$

Сначала вычислим в точке $x = 2$:

$$2 \cdot 2 + \frac{2^2}{2} — \frac{2^3}{3} = 4 + \frac{4}{2} — \frac{8}{3} = 4 + 2 — \frac{8}{3} = 6 — \frac{8}{3} = \frac{18 — 8}{3} = \frac{10}{3}$$

Теперь в точке $x = -1$:

$$2 \cdot (-1) + \frac{(-1)^2}{2} — \frac{(-1)^3}{3} = -2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$-2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -2 + \frac{3 + 2}{6} = -2 + \frac{5}{6} = -\frac{12 — 5}{6} = -\frac{7}{6}$$

Теперь найдём разность:

$$S = \frac{10}{3} — (-\frac{7}{6}) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$$

Приведем к общему знаменателю $6$:

$$\frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5$$

Ответ: 4,5

б) На рисунке 75

Шаг 1. Вершина параболы

Вершина параболы в точке $(1; -2)$. Записываем уравнение:

$$y = k(x — a)^2 + b, \quad a = 1, \quad b = -2 \Rightarrow y = k(x — 1)^2 — 2$$

Шаг 2. Определим $k$

Парабола проходит через точку $(0; -1)$:

$$-1 = k(0 — 1)^2 — 2 \Rightarrow -1 = k \cdot 1 — 2 \Rightarrow k = 1$$

Шаг 3. Уравнение параболы

$$y = (x — 1)^2 — 2 = x^2 — 2x + 1 — 2 = x^2 — 2x — 1$$

Шаг 4. Уравнение прямой

Прямая проходит через точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$:

$$y = tx + m$$

Подставим:

$$\begin{cases} 1 = 0 \cdot t + m \Rightarrow m = 1 \\ 0 = 1 \cdot t + m = t + 1 \Rightarrow t = -1 \end{cases}$$

Итак:

$$y = -x + 1 = 1 — x$$

Шаг 5. Разность функций

$$(1 — x) — (x^2 — 2x — 1) = 1 — x — x^2 + 2x + 1 = -x^2 + x + 2 = 2 + x — x^2$$

Шаг 6. Границы интегрирования

Из графика видно, что область находится между $x = -1$ и $x = 2$

Шаг 7. Интеграл

$$S = \int_{-1}^{2} (2 + x — x^2)\, dx$$

Шаг 8. Найдём первообразную

$$\int (2 + x — x^2) dx = 2x + \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3}$$

Шаг 9. Вычисление значения интеграла

Подставим пределы:

Верхний предел $x = 2$:

$$2 \cdot 2 + \frac{4}{2} — \frac{8}{3} = 4 + 2 — \frac{8}{3} = 6 — \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$$

Нижний предел $x = -1$:

$$2 \cdot (-1) + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{12 — 5}{6} = -\frac{7}{6}$$

Разность:

$$\frac{10}{3} — (-\frac{7}{6}) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5$$

Ответ: 4,5