ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = \sin 2x, \quad y = \dfrac{16x^2}{\pi^2}$;

б) $y = x^2 — 1, \quad y = \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)$;

в) $y = \cos x, \quad y = \left( \dfrac{2x}{\pi} — 1 \right)^2$;

г) $y = x^2 — 2x, \quad y = \sin\left( \dfrac{\pi x}{2} \right)$

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = \sin 2x, \quad y = \dfrac{16x^2}{\pi^2}$;
$y = \dfrac{16x^2}{\pi^2}$ — уравнение параболы:
$x_0 = 0, \quad y_0 = 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} \\ \hline y & \dfrac{4}{9} & 1 & \dfrac{16}{9} \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \sin 2x — \dfrac{16x^2}{\pi^2} \right) dx = \left( -\dfrac{1}{2} \cos 2x — \dfrac{16}{\pi^2} \cdot \dfrac{x^3}{3} \right) \Bigg|_0^{\frac{\pi}{4}};$$ $$S = \left( -\dfrac{1}{2} \cos\left(2 \cdot \dfrac{\pi}{4}\right) — \dfrac{16}{3\pi^2} \cdot \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^3 \right) — \left( -\dfrac{1}{2} \cos(0) — 0 \right);$$ $$S = -\dfrac{1}{2} \cos \dfrac{\pi}{2} — \dfrac{16}{3\pi^2} \cdot \dfrac{\pi^3}{64} + \dfrac{1}{2} \cos 0 = -\dfrac{1}{2} \cdot 0 — \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{1}{2};$$ $$S = \dfrac{1}{2} — \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{6 — \pi}{12};$$

Ответ: $\dfrac{6 — \pi}{12}$.

б) $y = x^2 — 1, \quad y = \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)$;
$y = x^2 — 1$ — уравнение параболы:
$x_0 = 0, \quad y_0 = -1$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & 0 & 1{,}25 & 3 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_{-1}^{1} \left( \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) — (x^2 — 1) \right) dx;$$ $$S = \left( \dfrac{2}{\pi} \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) — \left(\dfrac{x^3}{3} — x \right) \right) \Bigg|_{-1}^{1};$$ $$S = \left( \dfrac{2}{\pi} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) — \dfrac{1}{3} + 1 \right) — \left( \dfrac{2}{\pi} \sin\left( -\dfrac{\pi}{2} \right) + \dfrac{1}{3} — 1 \right);$$ $$S = \dfrac{2}{\pi} \cdot 1 — \dfrac{1}{3} + 1 + \dfrac{2}{\pi} \cdot 1 — \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{4}{\pi} — \dfrac{2}{3} + 2;$$ $$S = \dfrac{4}{\pi} — \dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{12 + 4\pi}{3\pi} = \dfrac{4(3 + \pi)}{3\pi};$$

Ответ: $\dfrac{4(3 + \pi)}{3\pi}$.

в) $y = \cos x, \quad y = \left( \dfrac{2x}{\pi} — 1 \right)^2$;

$$y = \left( \dfrac{2x}{\pi} — 1 \right)^2 = \dfrac{4x^2}{\pi^2} — \dfrac{4x}{\pi} + 1 \text{ — уравнение параболы};$$

Найдем координаты вершины параболы:

$$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\left(-\dfrac{4}{\pi}\right) : \left(2 \cdot \dfrac{4}{\pi^2} \right) = \dfrac{4}{\pi} \cdot \dfrac{\pi^2}{8} = \dfrac{\pi}{2};$$ $$y_0 = \left( \dfrac{2}{\pi} \cdot \dfrac{\pi}{2} — 1 \right)^2 = (1 — 1)^2 = 0;$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -\dfrac{\pi}{6} & 0 & \dfrac{\pi}{6} \\ \hline y & \dfrac{16}{9} & 1 & \dfrac{4}{9} \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos x — \left( \dfrac{4x^2}{\pi^2} — \dfrac{4x}{\pi} + 1 \right) \right) dx;$$ $$S = \left( \sin x — \left( \dfrac{4x^3}{3\pi^2} — \dfrac{2x^2}{\pi} + x \right) \right) \Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}};$$ $$S = \left( \sin \dfrac{\pi}{2} — \dfrac{4}{\pi^2} \cdot \dfrac{\pi^3}{8 \cdot 3} + \dfrac{2}{\pi} \cdot \dfrac{\pi^2}{4} — \dfrac{\pi}{2} \right) — (0 — 0 + 0 — 0);$$ $$S = 1 — \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{2} — \dfrac{\pi}{2} = 1 — \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{6 — \pi}{6};$$

Ответ: $\dfrac{6 — \pi}{6}$.

г) $y = x^2 — 2x, \quad y = \sin\left( \dfrac{\pi x}{2} \right)$;
$y = x^2 — 2x$ — уравнение параболы:

$$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1; \quad y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 = -1;$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1{,}5 & 2 & 2{,}5 \\ \hline y & -0{,}75 & 0 & 1{,}25 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Площадь искомой фигуры:

$$S = \int_0^2 \left( \sin\left( \dfrac{\pi x}{2} \right) — (x^2 — 2x) \right) dx;$$ $$S = \left( -\dfrac{2}{\pi} \cos\left( \dfrac{\pi x}{2} \right) — \left( \dfrac{x^3}{3} — x^2 \right) \right) \Bigg|_0^2;$$ $$S = \left( -\dfrac{2}{\pi} \cos \pi — \dfrac{8}{3} + 4 \right) — \left( -\dfrac{2}{\pi} \cdot 1 — 0 + 0 \right);$$ $$S = \left( -\dfrac{2}{\pi} \cdot (-1) — \dfrac{8}{3} + 4 \right) + \dfrac{2}{\pi} = \dfrac{4}{\pi} + 4 — \dfrac{8}{3};$$ $$S = \dfrac{12 + 4\pi}{3\pi} = \dfrac{4(3 + \pi)}{3\pi};$$

Ответ: $\dfrac{4(3 + \pi)}{3\pi}$.

а) $y = \sin 2x$ и $y = \tfrac{16x^2}{\pi^2}$

Шаг 1. Анализ функций.
Функция $y = \sin 2x$ — синусоида, растущая на интервале $[0; \tfrac{\pi}{2}]$ от 0 до 1.
Функция $y = \tfrac{16x^2}{\pi^2}$ — парабола, ветви вверх, проходит через начало координат, медленно растёт, при $x=\tfrac{\pi}{2}$ значение равно 4.

Шаг 2. Точки пересечения.
При $x=0$: обе функции равны 0.
При $x=\tfrac{\pi}{4}$: $\sin(\tfrac{\pi}{2})=1$, $\tfrac{16(\pi/4)^2}{\pi^2} = 1$. Это вторая точка пересечения.

Шаг 3. Какая функция выше.
На отрезке $0 < x < \tfrac{\pi}{4}$ $\sin 2x > \tfrac{16x^2}{\pi^2}$. Следовательно, искомая фигура ограничена сверху синусоидой, снизу параболой.

Шаг 4. Составление интеграла.

$$S = \int_{0}^{\pi/4} \left(\sin 2x — \tfrac{16x^2}{\pi^2}\right) dx$$

Шаг 5. Нахождение первообразных.
$\int \sin 2x \, dx = -\tfrac{1}{2}\cos 2x$.
$\int \tfrac{16}{\pi^2} x^2 dx = \tfrac{16}{\pi^2}\cdot \tfrac{x^3}{3}$.

Шаг 6. Запись результата интегрирования.

$$S = \left(-\tfrac{1}{2}\cos 2x — \tfrac{16}{3\pi^2} x^3\right)\Big|_{0}^{\pi/4}$$

Шаг 7. Вычисление в верхнем пределе.
$-\tfrac{1}{2}\cos(\tfrac{\pi}{2}) — \tfrac{16}{3\pi^2}\cdot (\tfrac{\pi}{4})^3 = 0 — \tfrac{16}{3\pi^2}\cdot \tfrac{\pi^3}{64} = -\tfrac{\pi}{12}$.

Шаг 8. Вычисление в нижнем пределе.
$-\tfrac{1}{2}\cos 0 — 0 = -\tfrac{1}{2}$.

Шаг 9. Разность.
$(- \tfrac{\pi}{12}) — (-\tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{2} — \tfrac{\pi}{12}$.

Шаг 10. Итог.

$$S = \frac{6 — \pi}{12}$$

Ответ: $\tfrac{6 — \pi}{12}$.

б) $y = x^2 — 1$ и $y = \cos(\tfrac{\pi x}{2})$

Шаг 1. Анализ функций.
$y = x^2 — 1$ — парабола, вершина в точке $(0; -1)$, проходит через $(-1;0)$, $(1;0)$.
$y = \cos(\tfrac{\pi x}{2})$ — косинусоида, при $x=0$ равна 1, при $x=\pm 1$ равна 0.

Шаг 2. Точки пересечения.
При $x = -1$: обе функции дают 0.
При $x = 1$: обе функции дают 0.

Шаг 3. Какая функция выше.
Между $-1$ и 1 косинусоида выше параболы.

Шаг 4. Интеграл.

$$S = \int_{-1}^{1} \left(\cos\left(\tfrac{\pi x}{2}\right) — (x^2 — 1)\right) dx$$

Шаг 5. Первообразные.
$\int \cos(\tfrac{\pi x}{2}) dx = \tfrac{2}{\pi}\sin(\tfrac{\pi x}{2})$.
$\int (x^2 — 1) dx = \tfrac{x^3}{3} — x$.

Шаг 6. Запись результата.

$$S = \left(\tfrac{2}{\pi}\sin\left(\tfrac{\pi x}{2}\right) — \tfrac{x^3}{3} + x\right)\Big|_{-1}^{1}$$

Шаг 7. Подстановка $x=1$.
$\tfrac{2}{\pi}\sin(\tfrac{\pi}{2}) — \tfrac{1}{3} + 1 = \tfrac{2}{\pi} + \tfrac{2}{3}$.

Шаг 8. Подстановка $x=-1$.
$\tfrac{2}{\pi}\sin(-\tfrac{\pi}{2}) — (-\tfrac{1}{3}) — 1 = -\tfrac{2}{\pi} + \tfrac{1}{3} — 1$.

Шаг 9. Разность.
$\left(\tfrac{2}{\pi} + \tfrac{2}{3}\right) — \left(-\tfrac{2}{\pi} + \tfrac{1}{3} — 1\right) = \tfrac{4}{\pi} + \tfrac{2}{3} — \tfrac{1}{3} + 1$.
Итого: $\tfrac{4}{\pi} + \tfrac{4}{3}$.

Шаг 10. Итог.
Приводим к общему знаменателю:

$$S = \frac{12 + 4\pi}{3\pi} = \frac{4(3+\pi)}{3\pi}$$

Ответ: $\tfrac{4(3 + \pi)}{3\pi}$.

в) $y = \cos x$ и $y = \big(\tfrac{2x}{\pi} — 1\big)^2$

Шаг 1. Анализ функций.
$y=\cos x$ убывает от 1 до 0 на $[0;\tfrac{\pi}{2}]$.
$y=\big(\tfrac{2x}{\pi} — 1\big)^2$ — парабола вверх, вершина в $(\tfrac{\pi}{2}, 0)$.

Шаг 2. Точки пересечения.
При $x=0$: $\cos 0 = 1$, парабола = 1.
При $x=\tfrac{\pi}{2}$: $\cos \tfrac{\pi}{2} = 0$, парабола = 0.

Шаг 3. Какая функция выше.
На $(0,\tfrac{\pi}{2})$ $\cos x$ выше параболы.

Шаг 4. Интеграл.

$$S = \int_0^{\pi/2} \left(\cos x — \left(\tfrac{2x}{\pi} — 1\right)^2\right) dx$$

Шаг 5. Раскроем скобки.
$(\tfrac{2x}{\pi} — 1)^2 = \tfrac{4x^2}{\pi^2} — \tfrac{4x}{\pi} + 1$.

Шаг 6. Первообразные.
$\int \cos x dx = \sin x$.
$\int \tfrac{4x^2}{\pi^2} dx = \tfrac{4}{\pi^2}\cdot \tfrac{x^3}{3}$.
$\int -\tfrac{4x}{\pi} dx = -\tfrac{2x^2}{\pi}$.
$\int 1 dx = x$.

Шаг 7. Итог.

$$S = \left(\sin x — \tfrac{4x^3}{3\pi^2} + \tfrac{2x^2}{\pi} — x\right)\Big|_0^{\pi/2}$$

Шаг 8. Подстановка $x=\pi/2$.
$\sin(\pi/2) — \tfrac{4(\pi/2)^3}{3\pi^2} + \tfrac{2(\pi/2)^2}{\pi} — \tfrac{\pi}{2}$.
Это $1 — \tfrac{\pi}{6} + \tfrac{\pi}{2} — \tfrac{\pi}{2} = 1 — \tfrac{\pi}{6}$.

Шаг 9. Подстановка $x=0$.
$\sin 0 — 0 + 0 — 0 = 0$.

Шаг 10. Итог.

$$S = 1 — \frac{\pi}{6} = \frac{6 — \pi}{6}$$

Ответ: $\tfrac{6 — \pi}{6}$.

г) $y = x^2 — 2x$ и $y = \sin\big(\tfrac{\pi x}{2}\big)$

Шаг 1. Анализ функций.
$y=x^2 — 2x$ — парабола, вершина в точке $(1; -1)$, проходит через $(0;0)$ и $(2;0)$.
$y=\sin(\tfrac{\pi x}{2})$ — синусоида, от 0 до 2 растёт от 0 до 1 и снова до 0.

Шаг 2. Точки пересечения.
При $x=0$: обе функции равны 0.
При $x=2$: обе функции равны 0.

Шаг 3. Какая функция выше.
На интервале $(0;2)$ синусоида выше параболы.

Шаг 4. Интеграл.

$$S = \int_0^2 \left(\sin\left(\tfrac{\pi x}{2}\right) — (x^2 — 2x)\right) dx$$

Шаг 5. Первообразные.
$\int \sin(\tfrac{\pi x}{2}) dx = -\tfrac{2}{\pi} \cos(\tfrac{\pi x}{2})$.
$\int (x^2 — 2x) dx = \tfrac{x^3}{3} — x^2$.

Шаг 6. Запись результата.

$$S = \left(-\tfrac{2}{\pi}\cos(\tfrac{\pi x}{2}) — \tfrac{x^3}{3} + x^2\right)\Big|_0^2$$

Шаг 7. Подстановка $x=2$.
$-\tfrac{2}{\pi}\cos \pi — \tfrac{8}{3} + 4 = \tfrac{2}{\pi} — \tfrac{8}{3} + 4$.

Шаг 8. Подстановка $x=0$.
$-\tfrac{2}{\pi}\cos 0 — 0 + 0 = -\tfrac{2}{\pi}$.

Шаг 9. Разность.
$\left(\tfrac{2}{\pi} — \tfrac{8}{3} + 4\right) — \left(-\tfrac{2}{\pi}\right) = \tfrac{4}{\pi} + 4 — \tfrac{8}{3}$.

Шаг 10. Итог.

$$S = \frac{12 + 4\pi}{3\pi} = \frac{4(3 + \pi)}{3\pi}$$

Ответ: $\tfrac{4(3 + \pi)}{3\pi}$.