ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = x³ — 6x² + 9x + 1 и касательной к нему в точке x = 3.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = x³ — 3x и касательной к нему в точке x = -1.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции:

а) $f(x) = x^3 — 6x^2 + 9x + 1$ и касательной в точке $x_0 = 3$;
Уравнение касательной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-6(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(9x+1{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-6\cdot 2x+9;$$

$$f'(x) = (x^3)’ — 6(x^2)’ + (9x + 1)’ = 3x^2 — 6 \cdot 2x + 9;$$ $$f^{\mathrm{\prime }}(3)=3\cdot 3^2-12\cdot 3+9=27-36+9=0;$$

$$f'(3) = 3 \cdot 3^2 — 12 \cdot 3 + 9 = 27 — 36 + 9 = 0;$$ $$f(3)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+1=27-54+27+1=1;$$

$$f(3) = 3^3 — 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = 27 — 54 + 27 + 1 = 1;$$ $$y = f'(x_0)(x — x_0) + f(x_0) = 0 \cdot (x — 3) + 1 = 1;$$

Точки пересечения:

$$x^3-6x^2+9x+1=1;$$

$$x^3 — 6x^2 + 9x + 1 = 1;$$ $$x(x^2-6x+9)=0;$$

$$x(x^2 — 6x + 9) = 0;$$ $$x(x-3{)}^2=0;$$

$$x(x — 3)^2 = 0;$$ $$x_1 = 0, \quad x_2 = 3;$$

На отрезке $[0; 3]$:

$$x^3 — 6x^2 + 9x + 1 \geq 1;$$

Площадь искомой фигуры:

$$S={\int }_0^3((x^3-6x^2+9x+1)-1)dx={\int }_0^3(x^3-6x^2+9x)dx;$$

$$S = \int_0^3 ((x^3 — 6x^2 + 9x + 1) — 1)dx = \int_0^3 (x^3 — 6x^2 + 9x)dx;$$ $$S=(\frac{x^4}{4}-6\cdot \frac{x^3}{3}+9\cdot \frac{x^2}{2}){\mid }_0^3;$$

$$S = \left( \frac{x^4}{4} — 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 9 \cdot \frac{x^2}{2} \right) \Big|_0^3;$$ $$S=(\frac{3^4}{4}-6\cdot \frac{3^3}{3}+9\cdot \frac{3^2}{2})-0;$$

$$S = \left( \frac{3^4}{4} — 6 \cdot \frac{3^3}{3} + 9 \cdot \frac{3^2}{2} \right) — 0;$$ $$S = \frac{81}{4} — 2 \cdot 27 + 4.5 \cdot 9 = 20.25 — 54 + 40.5 = 6.75;$$

Ответ: 6,75.

б) $f(x) = x^3 — 3x$ и касательной в точке $x_0 = -1$;
Уравнение касательной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(3x{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3;$$

$$f'(x) = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3;$$ $$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3\cdot (-1{)}^2-3=3-3=0;$$

$$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 — 3 = 3 — 3 = 0;$$ $$f(-1)=(-1{)}^3-3\cdot (-1)=-1+3=2;$$

$$f(-1) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2;$$ $$y = f'(x_0)(x — x_0) + f(x_0) = 0 \cdot (x + 1) + 2 = 2;$$

Точки пересечения:

$$x^3-3x=2;$$

$$x^3 — 3x = 2;$$ $$x^3+2x^2+x-2x^2-4x-2=0;$$

$$x^3 + 2x^2 + x — 2x^2 — 4x — 2 = 0;$$ $$x(x^2+2x+1)-2(x^2+2x+1)=0;$$

$$x(x^2 + 2x + 1) — 2(x^2 + 2x + 1) = 0;$$ $$(x-2)(x^2+2x+1)=0;$$

$$(x — 2)(x^2 + 2x + 1) = 0;$$ $$(x-2)(x+1{)}^2=0;$$

$$(x — 2)(x + 1)^2 = 0;$$ $$x_1 = -1, \quad x_2 = 2;$$

На отрезке $[-1; 2]$:

$$x^3 — 3x \leq 2;$$

Площадь искомой фигуры:

$$S={\int }_{-1}^2(2-(x^3-3x))dx={\int }_{-1}^2(2-x^3+3x)dx;$$

$$S = \int_{-1}^{2} \left( 2 — (x^3 — 3x) \right)dx = \int_{-1}^{2} (2 — x^3 + 3x)dx;$$ $$S=(2x-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}){\mid }_{-1}^2;$$

$$S = \left( 2x — \frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} \right)\Big|_{-1}^2;$$ $$S=(2\cdot 2-\frac{2^4}{4}+\frac{3\cdot 2^2}{2})-(2\cdot (-1)-\frac{(-1{)}^4}{4}+\frac{3\cdot (-1{)}^2}{2});$$

$$S = \left( 2 \cdot 2 — \frac{2^4}{4} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} \right) — \left( 2 \cdot (-1) — \frac{(-1)^4}{4} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} \right);$$ $$S = 4 — \frac{16}{4} + \frac{12}{2} + 2 + \frac{1}{4} — \frac{3}{2} = 6 — 4 + 6 + 0.25 — 1.5 = 6.75;$$

Ответ: 6,75.

а) $f(x) = x^3 — 6x^2 + 9x + 1$ и касательной в точке $x_0 = 3$

Шаг 1. Найдём производную функции

$$f'(x) = (x^3)’ — 6(x^2)’ + (9x)’ + (1)’ = 3x^2 — 12x + 9$$

Шаг 2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$

$$f'(3) = 3 \cdot 3^2 — 12 \cdot 3 + 9 = 27 — 36 + 9 = 0$$

Шаг 3. Найдём значение функции в точке $x_0 = 3$

$$f(3) = 3^3 — 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = 27 — 54 + 27 + 1 = 1$$

Шаг 4. Составим уравнение касательной
Уравнение касательной в точке $x_0$:

$$y = f'(x_0)(x — x_0) + f(x_0)$$

Подставляем:

$$y = 0 \cdot (x — 3) + 1 = 1$$

Шаг 5. Найдём точки пересечения графика функции с касательной
Решим уравнение:

$$x^3 — 6x^2 + 9x + 1 = 1 \Rightarrow x^3 — 6x^2 + 9x = 0 \Rightarrow x(x^2 — 6x + 9) = 0 \Rightarrow x(x — 3)^2 = 0$$

Точки пересечения:

$$x = 0,\quad x = 3$$

Шаг 6. Определим, какая из функций выше на отрезке [0; 3]
Из уравнения видно: $f(x) — 1 = x(x — 3)^2 \geq 0$, значит $f(x) \geq 1$
Следовательно, $f(x)$ выше касательной на всём отрезке

Шаг 7. Запишем выражение для площади

$$S = \int_0^3 (f(x) — 1) dx = \int_0^3 (x^3 — 6x^2 + 9x + 1 — 1) dx = \int_0^3 (x^3 — 6x^2 + 9x) dx$$

Шаг 8. Найдём первообразную

$$\int (x^3 — 6x^2 + 9x) dx = \frac{x^4}{4} — 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 9 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{4} — 2x^3 + \frac{9x^2}{2}$$

Шаг 9. Вычислим определённый интеграл
Подставим $x = 3$:

$$\frac{3^4}{4} — 2 \cdot 3^3 + \frac{9 \cdot 3^2}{2} = \frac{81}{4} — 54 + \frac{81}{2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{81}{4} + \frac{162}{4} — \frac{216}{4} = \frac{81 + 162 — 216}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$$

Шаг 10. Ответ
Ответ: $6{,}75$

б) $f(x) = x^3 — 3x$ и касательной в точке $x_0 = -1$

Шаг 1. Найдём производную функции

$$f'(x) = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3$$

Шаг 2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$

$$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 — 3 = 3 — 3 = 0$$

Шаг 3. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -1$

$$f(-1) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2$$

Шаг 4. Составим уравнение касательной

$$y = f'(x_0)(x — x_0) + f(x_0) = 0 \cdot (x + 1) + 2 = 2$$

Шаг 5. Найдём точки пересечения графика и касательной
Решим уравнение:

$$x^3 — 3x = 2 \Rightarrow x^3 — 3x — 2 = 0$$

Разложим кубическое уравнение:
Подбором находим корень $x = 2$:

$$2^3 — 3 \cdot 2 = 8 — 6 = 2 \Rightarrow подходит$$

Делим многочлен на $(x — 2)$:

$$x^3 — 3x — 2 = (x — 2)(x^2 + 2x + 1) = (x — 2)(x + 1)^2$$

Значит, точки пересечения:

$$x = -1,\quad x = 2$$

Шаг 6. Определим, какая функция выше
Рассмотрим разность:

$$2 — (x^3 — 3x) = 2 — x^3 + 3x$$

На отрезке $[-1; 2]$ данное выражение неотрицательно, т.е. касательная выше функции

Шаг 7. Запишем выражение для площади

$$S = \int_{-1}^{2} (2 — (x^3 — 3x)) dx = \int_{-1}^{2} (2 — x^3 + 3x) dx$$

Шаг 8. Найдём первообразную

$$\int (2 — x^3 + 3x) dx = 2x — \frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2}$$

Шаг 9. Вычислим определённый интеграл

Подставим $x = 2$:

$$2 \cdot 2 — \frac{2^4}{4} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} = 4 — \frac{16}{4} + \frac{12}{2} = 4 — 4 + 6 = 6$$

Подставим $x = -1$:

$$2 \cdot (-1) — \frac{(-1)^4}{4} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} = -2 — \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = -2 — 0.25 + 1.5 = -0.75$$

Разность:

$$6 — (-0.75) = 6 + 0.75 = 6.75$$

Шаг 10. Ответ
Ответ: $6{,}75$