ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить определенный интеграл:

а)

$$\int_{0}^{4} e^{0.5x-1} \, dx = \frac{1}{0{,}5} e^{0{,}5x — 1} \Big|_{0}^{4} = 2e^{0{,}5x — 1} \Big|_{0}^{4} = 2e^{0{,}5 \cdot 4 — 1} — 2e^{0{,}5 \cdot 0 — 1} =$$ $$= 2e^{2 — 1} — 2e^{-1} = 2e — \frac{2}{e} = \frac{2}{e}(e^2 — 1)$$

Ответ: $\frac{2}{e}(e^2 — 1)$

б)

$$\int_{-1}^{1} e^{2x+1} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x+1} \Big|_{-1}^{1} = \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 + 1} — \frac{1}{2} e^{2 \cdot (-1) + 1} = \frac{1}{2} e^3 — \frac{1}{2} e^{-1} =$$ $$= \frac{1}{2} e^3 — \frac{1}{2e} = \frac{e^4 — 1}{2e}$$

Ответ: $\frac{e^4 — 1}{2e}$

в)

$$\int_{-4}^{4} e^{0{,}25x + 1} \, dx = \frac{1}{0{,}25} e^{0{,}25x + 1} \Big|_{-4}^{4} = 4e^{0{,}25x + 1} \Big|_{-4}^{4} =$$ $$= 4e^{0{,}25 \cdot 4 + 1} — 4e^{0{,}25 \cdot (-4) + 1} = 4e^{1 + 1} — 4e^{-1 + 1} = 4e^2 — 4e^0 = 4e^2 — 4$$

Ответ: $4(e^2 — 1)$

г)

$$\int_{-0{,}5}^{0} e^{-2x+2} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x+2} \Big|_{-0{,}5}^{0} = -\frac{1}{2} e^{-2 \cdot 0 + 2} — \left(-\frac{1}{2} e^{-2 \cdot (-0{,}5) + 2}\right) =$$ $$= -\frac{1}{2} e^2 + \frac{1}{2} e^{1 + 2} = \frac{e^3}{2} — \frac{e^2}{2} = \frac{e^2}{2}(e — 1)$$

Ответ: $\frac{e^2}{2}(e — 1)$

а)

$$\int_{0}^{4} e^{0.5x — 1} \, dx$$

Шаг 1: Интегрируем показательную функцию вида $e^{kx + b}$

$$\int e^{kx + b} \, dx = \frac{1}{k} e^{kx + b} + C$$

Здесь:

• $k = 0{,}5$
• $b = -1$

Значит:

$$\int e^{0{,}5x — 1} \, dx = \frac{1}{0{,}5} e^{0{,}5x — 1} = 2e^{0{,}5x — 1}$$

Шаг 2: Применяем формулу Ньютона–Лейбница:

$$\int_{0}^{4} e^{0{,}5x — 1} \, dx = 2e^{0{,}5x — 1} \Big|_{0}^{4} = 2e^{0{,}5 \cdot 4 — 1} — 2e^{0{,}5 \cdot 0 — 1}$$

Шаг 3: Считаем степени:

$$0{,}5 \cdot 4 — 1 = 2 — 1 = 1,\quad 0{,}5 \cdot 0 — 1 = -1$$

Шаг 4: Подставляем:

$$2e^1 — 2e^{-1} = 2e — \frac{2}{e}$$

Шаг 5: Приводим к общему знаменателю:

$$2e — \frac{2}{e} = \frac{2e^2 — 2}{e} = \frac{2}{e}(e^2 — 1)$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2}{e}(e^2 — 1)}$$

б)

$$\int_{-1}^{1} e^{2x + 1} \, dx$$

Шаг 1: Интегрируем экспоненту:

$$\int e^{2x + 1} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x + 1} + C$$

Шаг 2: Применяем формулу:

$$\int_{-1}^{1} e^{2x + 1} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x + 1} \Big|_{-1}^{1} = \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 + 1} — \frac{1}{2} e^{2 \cdot (-1) + 1}$$

Шаг 3: Считаем показатели степени:

$$2 \cdot 1 + 1 = 3,\quad 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1$$

Шаг 4: Подставляем:

$$\frac{1}{2} e^3 — \frac{1}{2} e^{-1} = \frac{1}{2} e^3 — \frac{1}{2e}$$

Шаг 5: Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{2} e^3 — \frac{1}{2e} = \frac{e^4 — 1}{2e}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{e^4 — 1}{2e}}$$

в)

$$\int_{-4}^{4} e^{0.25x + 1} \, dx$$

Шаг 1: Интегрируем:

$$\int e^{0.25x + 1} \, dx = \frac{1}{0{,}25} e^{0{,}25x + 1} = 4e^{0{,}25x + 1}$$

Шаг 2: Применяем формулу:

$$4e^{0{,}25x + 1} \Big|_{-4}^{4} = 4e^{0{,}25 \cdot 4 + 1} — 4e^{0{,}25 \cdot (-4) + 1}$$

Шаг 3: Считаем степени:

$$0{,}25 \cdot 4 + 1 = 1 + 1 = 2,\quad 0{,}25 \cdot (-4) + 1 = -1 + 1 = 0$$

Шаг 4: Подставляем:

$$4e^2 — 4e^0 = 4e^2 — 4$$

Шаг 5: Выносим общий множитель:

$$4e^2 — 4 = 4(e^2 — 1)$$

Ответ:

$$\boxed{4(e^2 — 1)}$$

г)

$$\int_{-0.5}^{0} e^{-2x + 2} \, dx$$

Шаг 1: Интегрируем экспоненту:

$$\int e^{-2x + 2} \, dx = \frac{1}{-2} e^{-2x + 2} = -\frac{1}{2} e^{-2x + 2}$$

Шаг 2: Применяем формулу:

$$— \frac{1}{2} e^{-2x + 2} \Big|_{-0.5}^{0} = -\frac{1}{2} e^{-2 \cdot 0 + 2} + \frac{1}{2} e^{-2 \cdot (-0.5) + 2}$$

Шаг 3: Считаем степени:

$$-2 \cdot 0 + 2 = 2,\quad -2 \cdot (-0.5) + 2 = 1 + 2 = 3$$

Шаг 4: Подставляем:

$$— \frac{1}{2} e^2 + \frac{1}{2} e^3 = \frac{e^3}{2} — \frac{e^2}{2}$$

Шаг 5: Вынесем общий множитель:

$$\frac{e^3}{2} — \frac{e^2}{2} = \frac{e^2}{2}(e — 1)$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{e^2}{2}(e — 1)}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\frac{2}{e}(e^2 — 1)}$
б) $\boxed{\frac{e^4 — 1}{2e}}$
в) $\boxed{4(e^2 — 1)}$
г) $\boxed{\frac{e^2}{2}(e — 1)}$