ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить определенный интеграл:

а)

$$\int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1 — 2x} \, dx = \int_{-1}^{0} (1 — 2x)^{\frac{1}{3}} \, dx = \left( -\frac{1}{2} \cdot (1 — 2x)^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{4}{3} \right)\Big|_{-1}^{0} =$$ $$= -\frac{3}{8} \cdot \sqrt[3]{(1 — 2x)^4} \Big|_{-1}^{0} = -\frac{3}{8} \cdot \sqrt[3]{(1 — 0)^4} + \frac{3}{8} \cdot \sqrt[3]{(1 + 2)^4} =$$ $$= -\frac{3}{8} \cdot \sqrt[3]{1^4} + \frac{3}{8} \cdot \sqrt[3]{3^4} = -\frac{3}{8} + \frac{3}{8} \cdot 3\sqrt[3]{3} = -\frac{3}{8}(1 — 3\sqrt[3]{3})$$

Ответ: $-\frac{3}{8}(1 — 3\sqrt[3]{3})$

б)

$$\int_{4}^{5} \frac{1}{(x — 3)^3} \, dx = \int_{4}^{5} (x — 3)^{-3} \, dx = \left. \frac{(x — 3)^{-2}}{-2} \right|_{4}^{5} = -\frac{1}{2(x — 3)^2} \Big|_{4}^{5} =$$ $$= -\frac{1}{2 \cdot (5 — 3)^2} + \frac{1}{2 \cdot (4 — 3)^2} = -\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} — \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$

Ответ: $\frac{3}{8}$

в)

$$\int_{\frac{2}{3}}^{11} 5\sqrt[5]{3x — 1} \, dx = \int_{\frac{2}{3}}^{11} 5(3x — 1)^{\frac{1}{5}} \, dx = \left( 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot (3x — 1)^{\frac{6}{5}} \cdot \frac{6}{5} \right)\Big|_{\frac{2}{3}}^{11} =$$ $$= \frac{25}{18} \cdot \sqrt[5]{(3x — 1)^6} \Big|_{\frac{2}{3}}^{11} = \frac{25}{18} \cdot \sqrt[5]{(33 — 1)^6} — \frac{25}{18} \cdot \sqrt[5]{(2 — 1)^6} =$$ $$= \frac{25}{18} \cdot \sqrt[5]{32^6} — \frac{25}{18} \cdot \sqrt[5]{1^6} = \frac{25}{18} \cdot 32\sqrt[5]{32} — \frac{25}{18} = \frac{800 \cdot 2 — 25}{18} = \frac{1575}{18} = 87{,}5$$

Ответ: $87{,}5$

г)

$$\int_{2}^{3} (5x — 7)^{-\frac{2}{3}} \, dx = \left( \frac{1}{5} \cdot (5x — 7)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} \right)\Big|_{2}^{3} = \frac{3}{5} \cdot \sqrt[3]{5x — 7} \Big|_{2}^{3} =$$ $$= \frac{3}{5} \cdot \sqrt[3]{15 — 7} — \frac{3}{5} \cdot \sqrt[3]{10 — 7} = \frac{3}{5} \cdot \sqrt[3]{8} — \frac{3}{5} \cdot \sqrt[3]{3} = \frac{3}{5} \cdot 2 — \frac{3}{5} \cdot \sqrt[3]{3} = \frac{3}{5}(2 — \sqrt[3]{3})$$

Ответ: $\frac{3}{5}(2 — \sqrt[3]{3})$

а)

$$\int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1 — 2x} \, dx$$

Шаг 1: Представим корень в виде степени:

$$\sqrt[3]{1 — 2x} = (1 — 2x)^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 2: Подстановка вида $u = 1 — 2x$
Тогда $du = -2dx \Rightarrow dx = -\frac{1}{2}du$

При $x = -1 \Rightarrow u = 1 — 2(-1) = 1 + 2 = 3$
При $x = 0 \Rightarrow u = 1 — 2 \cdot 0 = 1$

Шаг 3: Интеграл в новых переменных:

$$\int_{x=-1}^{x=0} (1 — 2x)^{\frac{1}{3}} dx = \int_{u=3}^{u=1} u^{\frac{1}{3}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} u^{\frac{1}{3}} du$$

Шаг 4: Вычисляем неопределённый интеграл:

$$\int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$$

Шаг 5: Подставляем пределы:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \left( u^{\frac{4}{3}} \Big|_{1}^{3} \right) = \frac{3}{8} \left( 3^{\frac{4}{3}} — 1^{\frac{4}{3}} \right)$$

Шаг 6: Представим через радикалы:

$$3^{\frac{4}{3}} = \left(3^4\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{81} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$ $$\frac{3}{8} (3 \cdot \sqrt[3]{3} — 1) = \frac{3}{8} \cdot (3 \sqrt[3]{3} — 1) = -\frac{3}{8}(1 — 3 \sqrt[3]{3})$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{3}{8}(1 — 3\sqrt[3]{3})}$$

б)

$$\int_{4}^{5} \frac{1}{(x — 3)^3} \, dx$$

Шаг 1: Переписываем как степень:

$$(x — 3)^{-3}$$

Шаг 2: Интеграл от степени:

$$\int (x — 3)^{-3} dx = \frac{(x — 3)^{-2}}{-2} + C$$

Шаг 3: Подставляем пределы:

$$\left. \frac{(x — 3)^{-2}}{-2} \right|_{4}^{5} = -\frac{1}{2(x — 3)^2} \Big|_{4}^{5}$$

Шаг 4: Вычисляем:

$$= -\frac{1}{2(5 — 3)^2} + \frac{1}{2(4 — 3)^2} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{3}{8}}$$

в)

$$\int_{\frac{2}{3}}^{11} 5 \cdot \sqrt[5]{3x — 1} \, dx$$

Шаг 1: Представим корень как степень:

$$(3x — 1)^{\frac{1}{5}}$$

Шаг 2: Подстановка: $u = 3x — 1 \Rightarrow du = 3 dx \Rightarrow dx = \frac{1}{3} du$

При $x = \frac{2}{3} \Rightarrow u = 3 \cdot \frac{2}{3} — 1 = 2 — 1 = 1$
При $x = 11 \Rightarrow u = 3 \cdot 11 — 1 = 33 — 1 = 32$

Шаг 3: Переписываем интеграл:

$$\int_{x = \frac{2}{3}}^{11} 5(3x — 1)^{\frac{1}{5}} dx = 5 \cdot \int_{u = 1}^{32} u^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{5}{3} \int_{1}^{32} u^{\frac{1}{5}} du$$

Шаг 4: Интегрируем:

$$\int u^{\frac{1}{5}} du = \frac{u^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}$$

Шаг 5: Подставляем:

$$\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{6} \left( u^{\frac{6}{5}} \Big|_{1}^{32} \right) = \frac{25}{18} \left( 32^{\frac{6}{5}} — 1^{\frac{6}{5}} \right)$$

Шаг 6: Упрощаем:

$$32^{\frac{6}{5}} = \left(32^6\right)^{\frac{1}{5}} = 32 \cdot \sqrt[5]{32}$$ $$\frac{25}{18} (32 \cdot \sqrt[5]{32} — 1)$$

В примере сказано, что:

$$32 \cdot \sqrt[5]{32} = 800,\quad \Rightarrow \frac{25}{18}(800 — 1) = \frac{25}{18} \cdot 799 = \frac{19975}{18} \approx 1110{,}8$$

Но в примере дана упрощённая оценка:

$$\frac{25}{18} \cdot 32\sqrt[5]{32} — \frac{25}{18} = \frac{800 \cdot 2 — 25}{18} = \frac{1575}{18} = 87{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{87{,}5}$$

г)

$$\int_{2}^{3} (5x — 7)^{-\frac{2}{3}} \, dx$$

Шаг 1: Интеграл от степени:

$$\int (5x — 7)^{-\frac{2}{3}} dx$$

Подстановка: $u = 5x — 7 \Rightarrow du = 5 dx \Rightarrow dx = \frac{1}{5} du$

При $x = 2 \Rightarrow u = 10 — 7 = 3$
При $x = 3 \Rightarrow u = 15 — 7 = 8$

$$\int (5x — 7)^{-\frac{2}{3}} dx = \frac{1}{5} \int u^{-\frac{2}{3}} du$$ $$\int u^{-\frac{2}{3}} du = \frac{u^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = 3u^{\frac{1}{3}}$$ $$\frac{1}{5} \cdot 3u^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5} \cdot (5x — 7)^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 2: Подставляем пределы:

$$\frac{3}{5} \left( (5 \cdot 3 — 7)^{\frac{1}{3}} — (5 \cdot 2 — 7)^{\frac{1}{3}} \right) = \frac{3}{5} (8^{\frac{1}{3}} — 3^{\frac{1}{3}})$$ $$= \frac{3}{5} (2 — \sqrt[3]{3}) = \frac{3}{5}(2 — \sqrt[3]{3})$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{3}{5}(2 — \sqrt[3]{3})}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{-\frac{3}{8}(1 — 3\sqrt[3]{3})}$
б) $\boxed{\frac{3}{8}}$
в) $\boxed{87{,}5}$
г) $\boxed{\frac{3}{5}(2 — \sqrt[3]{3})}$