ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить определенный интеграл:

а)

$$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} = \ln|x| \big|_{1}^{2} = \ln 2 — \ln 1 = \ln 2 — 0 = \ln 2$$

Ответ: $\ln 2$

б)

$$\int_{1}^{2} \left(e^x + \frac{1}{x}\right) dx = (e^x + \ln|x|)\big|_{1}^{2} = (e^2 + \ln 2) — (e^1 + \ln 1) =$$ $$= e^2 + \ln 2 — e + 0 = e^2 — e + \ln 2$$

Ответ: $e^2 — e + \ln 2$

в)

$$\int_{0}^{1} \frac{0{,}1}{x+1} dx = 0{,}1 \ln|x+1| \big|_{0}^{1} = 0{,}1 \ln(1 + 1) — 0{,}1 \ln(0 + 1) =$$ $$= 0{,}1 \ln 2 — 0{,}1 \ln 1 = 0{,}1 \ln 2 — 0 = 0{,}1 \ln 2$$

Ответ: $0{,}1 \ln 2$

г)

$$\int_{1}^{2} \left(e^{2x} + \frac{2}{x}\right) dx = \left(\frac{1}{2}e^{2x} + 2 \ln|x|\right)\big|_{1}^{2} =$$ $$= \left(\frac{1}{2}e^{2\cdot 2} + 2 \ln 2\right) — \left(\frac{1}{2}e^{2\cdot 1} + 2 \ln 1\right) =$$ $$= \frac{1}{2}e^4 + 2 \ln 2 — \frac{1}{2}e^2 + 0 = \frac{1}{2}(e^4 — e^2) + 2 \ln 2$$

Ответ: $\frac{1}{2}(e^4 — e^2) + 2 \ln 2$

а)

$$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$$

Шаг 1: узнаём стандартный интеграл:

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$

Шаг 2: по формуле Ньютона–Лейбница:

$$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} = \ln|x| \Big|_{1}^{2} = \ln 2 — \ln 1$$

Шаг 3:

$$\ln 1 = 0, \quad \text{поэтому:} \quad \ln 2 — 0 = \ln 2$$

Ответ:

$$\boxed{\ln 2}$$

б)

$$\int_{1}^{2} \left(e^x + \frac{1}{x} \right) dx$$

Шаг 1: Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

$$\int e^x \, dx = e^x + C,\quad \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$

Шаг 2: Суммарно:

$$\int \left(e^x + \frac{1}{x} \right) dx = e^x + \ln|x| + C$$

Шаг 3: Применим пределы:

$$\left(e^x + \ln|x|\right) \Big|_{1}^{2} = \left(e^2 + \ln 2\right) — \left(e^1 + \ln 1\right)$$

Шаг 4: Подставим значения:

$$e^1 = e,\quad \ln 1 = 0$$ $$= e^2 + \ln 2 — e — 0 = e^2 — e + \ln 2$$

Ответ:

$$\boxed{e^2 — e + \ln 2}$$

в)

$$\int_{0}^{1} \frac{0{,}1}{x + 1} \, dx$$

Шаг 1: Вынесем константу:

$$0{,}1 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} \, dx$$

Шаг 2: Интеграл от $\frac{1}{x + 1}$:

$$\int \frac{1}{x + 1} \, dx = \ln|x + 1| + C$$

Шаг 3: Вычислим определённый интеграл:

$$0{,}1 \cdot \left( \ln|x + 1| \Big|_{0}^{1} \right) = 0{,}1 \cdot (\ln 2 — \ln 1)$$

Шаг 4:

$$\ln 1 = 0 \Rightarrow 0{,}1 \cdot (\ln 2 — 0) = 0{,}1 \ln 2$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}1 \ln 2}$$

г)

$$\int_{1}^{2} \left(e^{2x} + \frac{2}{x} \right) dx$$

Шаг 1: Интегрируем по частям:

• $\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$ (по правилу $\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax}$)
• $\int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln|x| + C$

Шаг 2: Полный интеграл:

$$\int \left(e^{2x} + \frac{2}{x} \right) dx = \frac{1}{2} e^{2x} + 2 \ln|x| + C$$

Шаг 3: Применим пределы:

$$\left(\frac{1}{2} e^{2x} + 2 \ln|x| \right) \Big|_{1}^{2}$$

Шаг 4: Вычисляем:

• Верхний предел при $x = 2$:

  $$\frac{1}{2} e^{2 \cdot 2} + 2 \ln 2 = \frac{1}{2} e^4 + 2 \ln 2$$

• Нижний предел при $x = 1$:

  $$\frac{1}{2} e^{2 \cdot 1} + 2 \ln 1 = \frac{1}{2} e^2 + 0$$

Шаг 5: Разность:

$$\left( \frac{1}{2} e^4 + 2 \ln 2 \right) — \left( \frac{1}{2} e^2 \right) = \frac{1}{2}(e^4 — e^2) + 2 \ln 2$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2}(e^4 — e^2) + 2 \ln 2}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\ln 2}$
б) $\boxed{e^2 — e + \ln 2}$
в) $\boxed{0{,}1 \ln 2}$
г) $\boxed{\frac{1}{2}(e^4 — e^2) + 2 \ln 2}$