ГДЗ 10-11 Класс Номер 49.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить определенный интеграл:

а)

$$\int_{3}^{6} \frac{dx}{2x — 1} = \frac{1}{2} \ln|2x — 1| \Big|_{3}^{6} = \frac{1}{2} \ln(2 \cdot 6 — 1) — \frac{1}{2} \ln(2 \cdot 3 — 1) =$$ $$= \frac{1}{2} \ln 11 — \frac{1}{2} \ln 5 = \frac{1}{2} \ln \frac{11}{5} = \frac{1}{2} \ln 2{,}2$$

Ответ: $\frac{1}{2} \ln 2{,}2$

б)

$$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{-5x + 6} = -\frac{1}{5} \ln|-5x + 6| \Big|_{-1}^{0} =$$ $$= -\frac{1}{5} \ln(-5 \cdot 0 + 6) + \frac{1}{5} \ln(-5 \cdot (-1) + 6) = \frac{1}{5} \ln 11 — \frac{1}{5} \ln 6 = \frac{1}{5} \ln \frac{11}{6}$$

Ответ: $\frac{1}{5} \ln \frac{11}{6}$

в)

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4x + 1} dx = \frac{1}{4} \ln|4x + 1| \Big|_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \ln \left(4 \cdot \frac{1}{2} + 1\right) — \frac{1}{4} \ln(4 \cdot 0 + 1) =$$ $$= \frac{1}{4} \ln 3 — \frac{1}{4} \ln 1 = \frac{1}{4} \ln 3 — \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{1}{4} \ln 3$$

Ответ: $\frac{1}{4} \ln 3$

г)

$$\int_{5}^{8} \frac{dx}{9 — x} = -\ln|9 — x| \Big|_{5}^{8} = -\ln(9 — 8) + \ln(9 — 5) = \ln 4 — \ln 1 =$$ $$= \ln 4 — 0 = \ln 4$$

Ответ: $\ln 4$$\ln 4$

а)

$$\int_{3}^{6} \frac{dx}{2x — 1}$$

Шаг 1: Знаем стандартную формулу интегрирования:

$$\int \frac{1}{ax + b} \, dx = \frac{1}{a} \ln|ax + b| + C$$

Здесь $a = 2$, $b = -1$

Шаг 2: Применяем формулу:

$$\int \frac{1}{2x — 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln|2x — 1| + C$$

Шаг 3: Подставляем пределы:

$$\frac{1}{2} \ln|2x — 1| \Big|_3^6 = \frac{1}{2} \left[ \ln(2 \cdot 6 — 1) — \ln(2 \cdot 3 — 1) \right]$$

Шаг 4: Считаем значения:

$$2 \cdot 6 — 1 = 11,\quad 2 \cdot 3 — 1 = 5$$ $$\frac{1}{2} (\ln 11 — \ln 5) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{11}{5} \right)$$

Шаг 5: Делим 11 на 5:

$$\frac{11}{5} = 2{,}2$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2} \ln 2{,}2}$$

б)

$$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{-5x + 6}$$

Шаг 1: Преобразуем выражение под интегралом к стандартному виду:

$$\int \frac{1}{-5x + 6} \, dx = \int \frac{1}{-(5x — 6)} \, dx$$

Шаг 2: Используем формулу:

$$\int \frac{1}{ax + b} \, dx = \frac{1}{a} \ln|ax + b| + C$$

Здесь $a = -5$, $b = 6$, поэтому:

$$\int \frac{1}{-5x + 6} \, dx = -\frac{1}{5} \ln|-5x + 6| + C$$

Шаг 3: Применяем формулу Ньютона–Лейбница:

$$-\frac{1}{5} \ln|-5x + 6| \Big|_{-1}^{0}$$

Шаг 4: Подставляем значения:

• При $x = 0$: $-5 \cdot 0 + 6 = 6$
• При $x = -1$: $-5 \cdot (-1) + 6 = 5 + 6 = 11$

$$= -\frac{1}{5} \ln 6 + \frac{1}{5} \ln 11 = \frac{1}{5} (\ln 11 — \ln 6) = \frac{1}{5} \ln \left( \frac{11}{6} \right)$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{5} \ln \frac{11}{6}}$$

в)

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4x + 1} \, dx$$

Шаг 1: Используем формулу:

$$\int \frac{1}{ax + b} \, dx = \frac{1}{a} \ln|ax + b| + C$$

Здесь $a = 4$, $b = 1$, значит:

$$\int \frac{1}{4x + 1} \, dx = \frac{1}{4} \ln|4x + 1| + C$$

Шаг 2: Применяем формулу Ньютона–Лейбница:

$$\frac{1}{4} \ln|4x + 1| \Big|_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \left[ \ln(4 \cdot \tfrac{1}{2} + 1) — \ln(4 \cdot 0 + 1) \right]$$

Шаг 3: Считаем:

$$4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2 + 1 = 3,\quad 4 \cdot 0 + 1 = 1$$ $$\frac{1}{4} (\ln 3 — \ln 1) = \frac{1}{4} \ln 3$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{4} \ln 3}$$

г)

$$\int_{5}^{8} \frac{1}{9 — x} \, dx$$

Шаг 1: Переписываем под интегралом:

$$\frac{1}{9 — x} = -\frac{1}{x — 9}$$

Или сразу применяем правило:

$$\int \frac{1}{a — x} \, dx = -\ln|a — x| + C$$

Шаг 2: Записываем первообразную:

$$\int \frac{1}{9 — x} \, dx = -\ln|9 — x| + C$$

Шаг 3: Применяем формулу Ньютона–Лейбница:

$$-\ln|9 — x| \Big|_{5}^{8} = -\ln(9 — 8) + \ln(9 — 5)$$

Шаг 4: Вычисляем:

$$-\ln 1 + \ln 4 = 0 + \ln 4 = \ln 4$$

Ответ:

$$\boxed{\ln 4}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\frac{1}{2} \ln 2{,}2}$
б) $\boxed{\frac{1}{5} \ln \frac{11}{6}}$
в) $\boxed{\frac{1}{4} \ln 3}$
г) $\boxed{\ln 4}$