ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти декартовы координаты заданной точки:

а) $M \left( \frac{\pi}{4} \right)$;
Ответ: $\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

б) $M \left( \frac{\pi}{3} \right)$;
Ответ: $\left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

в) $M \left( \frac{\pi}{6} \right)$;
Ответ: $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right)$.

г) $M \left( \frac{\pi}{2} \right)$;
Ответ: $(0; 1)$.

а) $M\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)$ (45°)

Шаг 1. Опорный треугольник — равнобедренный прямоугольный $45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ$.
Шаг 2. На единичной окружности гипотенуза $=1$. Катеты (проекции на оси) равны: $x=\cos \tfrac{\pi}{4}=\sin \tfrac{\pi}{4}=y$.
Шаг 3. По Пифагору для катетов $x=y$:

$$x^2+x^2=1 \;\Rightarrow\; 2x^2=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

(берём положительный корень, т.к. I четверть.)

Итог:

$$M\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2};\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).$$

Проверка: $\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\tfrac12+\tfrac12=1$ — верно.

б) $M\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)$ (60°)

Шаг 1. Опорный треугольник — $30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ$.
Шаг 2. При гипотенузе $=1$: короткий катет (напротив $30^\circ$) $=\frac12$, длинный (напротив $60^\circ$) $=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Шаг 3. Для угла $60^\circ$:

• проекция на $Ox$ — прилежащий катет $\Rightarrow \cos \tfrac{\pi}{3}=\frac12$;
• проекция на $Oy$ — противоположный катет $\Rightarrow \sin \tfrac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Итог:

$$M\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\Bigl(\tfrac{1}{2};\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).$$

Проверка: $\left(\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\tfrac14+\tfrac34=1$.

в) $M\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)$ (30°)

Шаг 1. Тот же треугольник $30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ$ с гипотенузой $=1$.
Шаг 2. Для угла $30^\circ$:

• $\cos \tfrac{\pi}{6}$ — прилежащий к $30^\circ$ катет $=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
• $\sin \tfrac{\pi}{6}$ — противоположный к $30^\circ$ катет $=\frac12$.

Итог:

$$M\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2};\tfrac{1}{2}\Bigr).$$

Проверка: $\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac34+\tfrac14=1$.

(Замечание: видно и тождество $\sin \tfrac{\pi}{3}=\cos \tfrac{\pi}{6}$ и $\cos \tfrac{\pi}{3}=\sin \tfrac{\pi}{6}$, т.к. углы дополняют друг друга до $90^\circ$.)

г) $M\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)$ (90°)

Шаг 1. Угол $90^\circ$ даёт точку «верх» единичной окружности.
Шаг 2. Координаты читаются прямо с окружности: $x=\cos \tfrac{\pi}{2}=0$, $y=\sin \tfrac{\pi}{2}=1$.

Итог:

$$M\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=(0;1).$$

Проверка: $0^2+1^2=1$.

Ответы:

а) $\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2};\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)$

б) $\Bigl(\tfrac{1}{2};\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)$

в) $\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2};\tfrac{1}{2}\Bigr)$

г) $(0;1)$