ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

На числовой окружности указать точку $M$, координаты которой удовлетворяют данным условиям, и найти соответствующие числа:

а) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; y > 0$;

Подходящая точка:

$$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M\left(\frac{\pi}{6}\right);$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

б) $x = -\frac{1}{2}, \; y < 0$;

Подходящая точка:

$$M\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{4\pi}{3}\right);$$

Ответ: $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; y < 0$;

Подходящая точка:

$$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) = M\left(\frac{11\pi}{6}\right);$$

Ответ: $t = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $x = -\frac{1}{2}, \; y > 0$;

Подходящая точка:

$$M\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{2\pi}{3}\right);$$

Ответ: $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Что значит «числовая окружность» и как искать $t$

Числовая (единичная) окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

Каждая точка $M(x,y)$ на этой окружности параметризуется углом $t$ (в радианах) по формулам:

$$x=\cos t,\qquad y=\sin t.$$

Угол $t$ отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки.

Квадранты и знаки:

• I квадрант: $x>0,\; y>0$ $\Rightarrow$ $\cos t>0,\; \sin t>0$.
• II квадрант: $x<0,\; y>0$ $\Rightarrow$ $\cos t<0,\; \sin t>0$.
• III квадрант: $x<0,\; y<0$ $\Rightarrow$ $\cos t<0,\; \sin t<0$.
• IV квадрант: $x>0,\; y<0$ $\Rightarrow$ $\cos t>0,\; \sin t<0$.

Периодичность: синус и косинус имеют период $2\pi$. Поэтому если $t_0$ — подходящий угол, то все решения имеют вид $t=t_0+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$.

Нам даны условия на $x$ и знак $y$. Мы подбираем такой угол $t$, чтобы $\cos t = x$ и при этом знак $\sin t$ соответствовал условию на $y$.

Набор «эталонных» значений (опорные углы)

Полезно помнить точные значения для «острых» углов $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{\pi}{3}$:

• $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$.
• $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2},\quad \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Из них легко получать значения в других квадрантах, добавляя/вычитая $\pi$, $\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{4\pi}{3}$, $\dfrac{11\pi}{6}$ и т. п., следя за знаками $\cos$ и $\sin$.

а) $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\; y>0$

Шаг 1. По $x=\cos t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ видно, что опорный угол — $\dfrac{\pi}{6}$ (так как $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$).
Шаг 2. Знак $y>0\Rightarrow \sin t>0$. Это означает, что точка лежит в I или II квадранте.
Шаг 3. Но $\cos t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}>0$ — это I или IV квадрант. Пересечение условий (I/II по синусу и I/IV по косинусу) — только I квадрант.
Шаг 4. В I квадранте с опорным углом $\dfrac{\pi}{6}$ сам угол равен

$$t=\frac{\pi}{6}.$$

Проверка координат точки.
$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}=x,\quad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}>0\Rightarrow y>0$ — условие выполнено.
Итог (с учётом периодичности):

$$\boxed{t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.}$$

Подходящая точка: $M\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right)=M\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.

б) $x=-\dfrac{1}{2},\; y<0$

Шаг 1. По модулю $|x|=\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}\Rightarrow$ опорный угол — $\dfrac{\pi}{3}$.
Шаг 2. $x<0\Rightarrow \cos t<0$ — это II или III квадрант.
Шаг 3. $y<0\Rightarrow \sin t<0$ — это III или IV квадрант.
Шаг 4. Пересечение: только III квадрант.
Шаг 5. Угол III квадранта с опорным $\dfrac{\pi}{3}$ равен:

$$t=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.$$

Проверка координат.
$\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}=x,\quad \sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0\Rightarrow y<0$ — всё верно.
Итог (с учётом периодичности):

$$\boxed{t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.}$$

Подходящая точка: $M\!\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=M\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)$.

в) $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\; y<0$

Шаг 1. $\cos t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$ опорный угол $\dfrac{\pi}{6}$.
Шаг 2. $\cos t>0\Rightarrow$ I или IV квадрант.
Шаг 3. $\sin t<0\Rightarrow$ III или IV квадрант.
Шаг 4. Пересечение: только IV квадрант.
Шаг 5. Угол IV квадранта с опорным $\dfrac{\pi}{6}$ равен:

$$t=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}.$$

Проверка координат.
$\cos\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}=x,\quad \sin\frac{11\pi}{6}=-\frac{1}{2}<0\Rightarrow y<0$ — условие соблюдено.
Итог (с учётом периодичности):

$$\boxed{t=\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.}$$

Подходящая точка: $M\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)=M\!\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)$.

г) $x=-\dfrac{1}{2},\; y>0$

Шаг 1. $|x|=\dfrac{1}{2}\Rightarrow$ опорный угол $\dfrac{\pi}{3}$.
Шаг 2. $\cos t<0\Rightarrow$ II или III квадрант.
Шаг 3. $\sin t>0\Rightarrow$ I или II квадрант.
Шаг 4. Пересечение: только II квадрант.
Шаг 5. Угол II квадранта с опорным $\dfrac{\pi}{3}$ равен:

$$t=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.$$

Проверка координат.
$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}=x,\quad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}>0\Rightarrow y>0$ — всё верно.
Итог (с учётом периодичности):

$$\boxed{t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.}$$

Подходящая точка: $M\!\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=M\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$.