ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Укажите знаки абсциссы и ординаты точки числовой окружности:

а) Е(2);

б) K(-4);

в) F(-l);

г) L(6).

Указать знаки абсциссы и ординаты точки числовой окружности

а) $E(2);$
$3 < \pi < 4;$
$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$
$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$
Ответ: $(-; +)$.

б) $K(-4);$
$3 < \pi < 4;$
$4,5 < \frac{3\pi}{2} < 6;$
$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$
$-\frac{3\pi}{2} < -4 < -\pi;$
$\frac{\pi}{2} < 2\pi — 4 < \pi;$
Ответ: $(-; +)$.

в) $F(-1);$
$3 < \pi < 4;$
$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$
$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$
$-\frac{\pi}{2} < -1 < 0;$
$\frac{3\pi}{2} < 2\pi — 1 < 2\pi;$
Ответ: $(+; -)$.

г) $L(6);$
$3 < \pi < 4;$
$6 < \pi < 8;$
$4,5 < \frac{3\pi}{2} < 6;$
$\frac{3\pi}{2} < 6 < \pi;$
Ответ: $(+; -)$.

База: как понять знаки по четверти

• I четверть: $0<t<\frac{\pi}{2}$ → $(\cos t,\sin t)=(+,+)$
• II четверть: $\frac{\pi}{2}<t<\pi$ → $(-,+)$
• III четверть: $\pi< t<\frac{3\pi}{2}$ → $(-,-)$
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2}<t<2\pi$ → $(+,-)$

Полезные ориентиры (достаточно грубо, но надёжно):

$$\pi \approx \mathrm{3,14}\in (3,4),\frac{\pi }{2}\approx \mathrm{1,57}\in (\mathrm{1,5},2),$$

$$\pi\approx3{,}14\in(3,4),\quad \frac{\pi}{2}\approx1{,}57\in(1{,}5,2),\quad \frac{3\pi}{2}\approx4{,}71\in(4{,}5,6),\quad 2\pi\approx6{,}28\in(6,8).$$

Если $t<0$, удобно перейти к соизмеримому углу в $[0,2\pi)$: прибавить $2\pi$ (или несколько раз по необходимости).

а) $E(2)$

Шаг 1. Сравним $2$ с ключевыми углами:

$$\frac{\pi}{2}\approx1{,}57<2<\pi\approx3{,}14.$$

Шаг 2. Значит $t=2$ лежит во II четверти.

Шаг 3. Во II четверти: $\cos t<0,\ \sin t>0$.

Ответ для $E(2)$: $(-;\ +)$.

б) $K(-4)$

Есть два равноценные способа рассуждать — через отрицательные углы или приведя к $[0,2\pi)$.

Вариант A (через отрицательные углы).

Шаг 1. Оценим:

$$-\frac{3\pi}{2}\approx-4{,}71<-4<-\pi\approx-3{,}14.$$

Шаг 2. Интервал $\bigl(-\tfrac{3\pi}{2},-\pi\bigr)$ соответствует «на $180^\circ$–$270^\circ$ по часовой стрелке от оси $Ox$», что при переносе в $[0,2\pi)$ даст II четверть (см. ниже, вариант B).

Вариант B (приведение к $[0,2\pi)$).

Шаг 1. Прибавим $2\pi$: $-4+2\pi=2\pi-4$.

Численно:

$$\frac{\pi}{2}\approx1{,}57<\underbrace{2\pi-4}_{\approx2{,}28}<\pi\approx3{,}14.$$

Шаг 2. Это снова II четверть.

Шаг 3. Во II четверти: $\cos t<0,\ \sin t>0$.

Ответ для $K(-4)$: $(-;\ +)$.

в) $F(-1)$

Вариант A (непосредственно).

Шаг 1. $-\frac{\pi}{2}\approx-1{,}57<-1<0$.

Шаг 2. Угол в $\bigl(-\tfrac{\pi}{2},0\bigr)$ — это «немного по часовой стрелке» от оси $Ox$, что геометрически — IV четверть.

Вариант B (приведение к $[0,2\pi)$).

Шаг 1. Прибавим $2\pi$: $-1+2\pi=2\pi-1$.

Численно:

$$\frac{3\pi}{2}\approx4{,}71<\underbrace{2\pi-1}_{\approx5{,}28}<2\pi\approx6{,}28,$$

то есть IV четверть.

Шаг 2. В IV четверти: $\cos t>0,\ \sin t<0$.

Ответ для $F(-1)$: $(+;\ -)$.

г) $L(6)$

Примечание: в исходных неравенствах к этому пункту, вероятно, были опечатки: корректно сравнивать 6 с $\tfrac{3\pi}{2}$ и $2\pi$, а не с $\pi$. Верные ориентиры: $\tfrac{3\pi}{2}\in(4{,}5,6)$ и $2\pi\in(6,8)$.

Шаг 1. Сравним:

$$\frac{3\pi}{2}\approx4{,}71<6<2\pi\approx6{,}28.$$

Шаг 2. Значит $t=6$ лежит в IV четверти.

Шаг 3. В IV четверти: $\cos t>0,\ \sin t<0$.

Ответ для $L(6)$: $(+;\ -)$.