ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти все точки, координаты которых удовлетворяют неравенству, и записать каким числам $t$ они соответствуют:

а) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{3\pi}{4} \right) = M_1 \left( -\frac{5\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

б) $y > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{7\pi}{4} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

в) $y \leq -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{4\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{3} \right);$$

Ответ:

$$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

г) $y \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Нам нужно:

1. Найти все точки на единичной окружности, удовлетворяющие данным неравенствам для координаты $y$.
2. Определить интервалы значений параметра $t$, при которых выполняется это условие.

Замечание:
Мы работаем с параметрическим уравнением единичной окружности:

$$x = \cos t,\quad y = \sin t,\quad t \in \mathbb{R}.$$

Т.е. любая точка окружности соответствует некоторому значению параметра $t$ (углу), который отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки.

Общий алгоритм решения

Для любого из пунктов (а–г):

1. Запишем условие через $y = \sin t$.
2. Решим неравенство $\sin t < \dots$ или $\sin t > \dots$ на интервале $[0, 2\pi)$ или $(-\pi, \pi]$.
3. Найдём граничные точки — это значения $t$, при которых $\sin t = \text{граница}$.
4. Определим дугу окружности, где неравенство выполняется, и соответствующие промежутки для $t$.
5. Распространим решение на все периоды, добавив $+2\pi n,\, n\in\mathbb{Z}$.

а) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$

1. Переписываем через синус:

$$\sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

2. Находим точки, где $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в двух точках на окружности:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} \quad (\text{I четверть}),$$ $$t_2 = \frac{3\pi}{4} \quad (\text{II четверть}).$$

3. Определяем, где синус меньше этого значения.
На графике $\sin t$ видно:

• Между $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$ синус больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• В остальных местах он меньше.

Значит, на интервале $0 \le t < 2\pi$ решение:

$$0 \le t < \frac{\pi}{4} \quad \text{и} \quad \frac{3\pi}{4} < t < 2\pi.$$

4. Переходим к единому виду.
Если «склеить» интервалы через отрицательные углы, удобно начать от $-\frac{5\pi}{4}$ (это $\frac{3\pi}{4} — 2\pi$) и дойти до $\frac{\pi}{4}$:

$$-\frac{5\pi}{4} < t < \frac{\pi}{4}.$$

5. Обобщаем на все периоды:

$$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

Геометрическая картинка:
На окружности исключается «шапка» сверху между $\pi/4$ и $3\pi/4$.

б) $y > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

1. Переписываем:

$$\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

2. Находим граничные точки $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это:

$$t_1 = \frac{5\pi}{4} \quad (\text{III четверть}),$$ $$t_2 = \frac{7\pi}{4} \quad (\text{IV четверть}).$$

3. Определяем, где синус больше.
Синус меньше этого значения только между $t_1$ и $t_2$ по направлению против часовой стрелки, но условие требует >, значит берём все остальные точки:

$$-\frac{\pi}{4} < t < \frac{5\pi}{4}.$$

(Здесь $-\frac{\pi}{4}$ — это то же самое, что $\frac{7\pi}{4} — 2\pi$).

4. На все периоды:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

Геометрическая картинка:
Вырезается только «шапка» снизу между $5\pi/4$ и $7\pi/4$.

в) $y \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Переписываем:

$$\sin t \le -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

2. Находим, где $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это:

$$t_1 = \frac{4\pi}{3} \quad (\text{III четверть}),$$ $$t_2 = \frac{5\pi}{3} \quad (\text{IV четверть}).$$

3. Где синус меньше или равен?
Синус отрицателен и на минимуме внизу. Это происходит от $t_1$ до $t_2$:

$$\frac{4\pi}{3} \le t \le \frac{5\pi}{3}.$$

4. Обобщаем:

$$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

Геометрическая картинка:
Нижний сегмент окружности между 240° и 300°.

г) $y \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Переписываем:

$$\sin t \ge \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

2. Находим, где $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это:

$$t_1 = \frac{\pi}{3} \quad (\text{I четверть}),$$ $$t_2 = \frac{2\pi}{3} \quad (\text{II четверть}).$$

3. Где синус больше или равен?
Только на дуге сверху между этими точками:

$$\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{2\pi}{3}.$$

4. Обобщаем:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Геометрическая картинка:
Верхний сегмент окружности между 60° и 120°.

Итоговые ответы

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \text{а) }-\frac{5\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{\pi }{4}+2\pi n,}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \text{б) }-\frac{\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{5\pi }{4}+2\pi n,}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \text{в) }\frac{4\pi }{3}+2\pi n\le t\le \frac{5\pi }{3}+2\pi n,}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \text{г) }\frac{\pi }{3}+2\pi n\le t\le \frac{2\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}}\end{array}}}$$