ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $M(2\pi) = M(2\pi + 0) = M(0);$

б) $M\left(\frac{7\pi}{2}\right) = M\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{2}\right);$

в) $M\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = M\left(2\pi — \frac{3\pi}{2}\right) = M\left(\frac{\pi}{2}\right);$

г) $M(15\pi )$

Найти декартовы координаты заданной точки:

а) $M(2\pi) = M(2\pi + 0) = M(0);$
Ответ: (1; 0).

б) $M\left(\frac{7\pi}{2}\right) = M\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = M\left(\frac{3\pi}{2}\right);$
Ответ: (0; −1).

в) $M\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = M\left(2\pi — \frac{3\pi}{2}\right) = M\left(\frac{\pi}{2}\right);$
Ответ: (0; 1).

г) $M(15\pi) = M(\pi + 14\pi) = M(\pi);$
Ответ: (−1; 0).

Что означает $M(t)$

Точку $M(t)$ удобно понимать как точку на единичной окружности, полученную поворотом радиуса из точки $(1,0)$ на угол $t$ (в радианах) против часовой стрелки.
Её декартовы координаты задаются параметрически:

$$M(t)=(x,y)=(\cos t,\ \sin t).$$

Две ключевые идеи

1. Периодичность: $\cos(t+2\pi k)=\cos t$ и $\sin(t+2\pi k)=\sin t$ для любого целого $k$.
2. Нормализация угла: любой угол можно привести к эквивалентному из промежутка $[0,2\pi)$, вычитая/прибавляя целые кратные $2\pi$. Это не меняет точку $M(t)$.

Также полезны «опорные» значения:

$$\begin{aligned} &\cos 0=1,\ \sin 0=0 &&\Rightarrow M(0)=(1,0);\\ &\cos\tfrac{\pi}{2}=0,\ \sin\tfrac{\pi}{2}=1 &&\Rightarrow M\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=(0,1);\\ &\cos\pi=-1,\ \sin\pi=0 &&\Rightarrow M(\pi)=(-1,0);\\ &\cos\tfrac{3\pi}{2}=0,\ \sin\tfrac{3\pi}{2}=-1 &&\Rightarrow M\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=(0,-1);\\ &\cos 2\pi=1,\ \sin 2\pi=0 &&\Rightarrow M(2\pi)=(1,0). \end{aligned}$$

а) $M(2\pi)=M(2\pi+0)=M(0)$

Шаг 1. Приведём угол к $[0,2\pi)$: $2\pi\equiv 0\pmod{2\pi}$.
Шаг 2. Координаты по формулам:

$$x=\cos 0=1,\quad y=\sin 0=0.$$

Ответ: $M(2\pi)=(1,0)$.
(Совпадает с $M(0)$, что логично: полный оборот возвращает в исходную точку.)

б) $M\!\left(\frac{7\pi}{2}\right)=M\!\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi\right)=M\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)$

Шаг 1. Нормализация:

$$\frac{7\pi}{2}-2\pi=\frac{7\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}\in[0,2\pi).$$

Значит, $M\!\left(\tfrac{7\pi}{2}\right)=M\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)$.

Шаг 2. Координаты:

$$x=\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0,\quad y=\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1.$$

Ответ: $M\!\left(\tfrac{7\pi}{2}\right)=(0,-1)$.

в) $M\!\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=M\!\left(2\pi-\frac{3\pi}{2}\right)=M\!\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Есть два равноправных пути:

Путь 1 (через прибавление $2\pi$).
Нормализуем:

$$-\frac{3\pi}{2}+2\pi=\frac{\pi}{2}\in[0,2\pi).$$

Значит $M\!\left(-\tfrac{3\pi}{2}\right)=M\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)$.

Путь 2 (как написано в условии).
$2\pi-\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}$ — получаем ту же опорную точку.

Координаты:

$$x=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\quad y=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.$$

Ответ: $M\!\left(-\tfrac{3\pi}{2}\right)=(0,1)$.

г) $M(15\pi)=M(\pi+14\pi)=M(\pi)$

Шаг 1. Нормализация: вычтем $14\pi=7\cdot 2\pi$:

$$15\pi-14\pi=\pi\in[0,2\pi).$$

Значит $M(15\pi)=M(\pi)$.

Шаг 2. Координаты:

$$x=\cos\pi=-1,\quad y=\sin\pi=0.$$

Ответ: $M(15\pi)=(-1,0)$.