ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой и запишите, каким числам t они соответствуют:

а) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $x = \frac{1}{2}$;

в) $x = 1$;

г) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найти на числовой окружности точки с данной абсциссой:

а) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{11\pi}{6} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{11\pi}{6} — 2\pi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

б) $x = \frac{1}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{3} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{5\pi}{3} — 2\pi = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $x = 1$;

Подходящая точка:

$$M(1; 0) = M(2\pi);$$

Ответ: $t = 2\pi n$.

г) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

База: как устроена «числовая (тригонометрическая) окружность»

• Каждой вещественной величине $t$ (углу в радианах) на единичной окружности соответствует точка

  $$M(t)=(\cos t,\ \sin t).$$

• Значит «найти точки с данной абсциссой $x$» = «решить уравнение $\cos t=x$» и выписать координаты соответствующих точек.
• Ключевые факты:
  1. $\cos$ — чётная функция: $\cos(-t)=\cos t$.
  2. Периодичность: $\cos(t+2\pi n)=\cos t$ для любого $n\in\mathbb Z$.
  3. Общее решение уравнения $\cos t = a$ (при $|a|\le 1$):

     $$t=\pm \arccos a + 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

     Геометрически это две симметричные точки относительно оси $Ox$: в I и IV четвертях, если $a>0$; в II и III — если $a<0$.

• Для конкретных «табличных» значений используем остроугольные эталоны $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, то есть $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$.

а) $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

1) Находим опорный угол

$$\arccos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}=30^\circ.$$

Так как $x>0$, точки лежат в I и IV четвертях: это углы $+\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$ (или, если брать в $[0,2\pi)$, то $\frac{\pi}{6}$ и $2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$).

2) Координаты точек

$$M_1\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\big(\cos\tfrac{\pi}{6},\ \sin\tfrac{\pi}{6}\big)=\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\ \tfrac12\right),$$ $$M_2\!\left(\tfrac{11\pi}{6}\right)=\big(\cos\tfrac{11\pi}{6},\ \sin\tfrac{11\pi}{6}\big)=\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\tfrac12\right).$$

3) Общее решение по периодичности

$$t=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $x=\dfrac{1}{2}$

1) Опорный угол

$$\arccos\!\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}=60^\circ.$$

$x>0\Rightarrow$ точки в I и IV четвертях: углы $+\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$ (или в $[0,2\pi)$: $\frac{\pi}{3}$ и $2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$).

2) Координаты точек

$$M_1\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\big(\cos\tfrac{\pi}{3},\ \sin\tfrac{\pi}{3}\big)=\left(\tfrac{1}{2},\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),$$ $$M_2\!\left(\tfrac{5\pi}{3}\right)=\big(\cos\tfrac{5\pi}{3},\ \sin\tfrac{5\pi}{3}\big)=\left(\tfrac{1}{2},\ -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$$

3) Общее решение

$$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Примечание: при переходе от $\tfrac{5\pi}{3}$ к симметричной записи через отрицательный угол верно

$$\tfrac{5\pi}{3}-2\pi=\tfrac{5\pi}{3}-\tfrac{6\pi}{3}=-\tfrac{\pi}{3},$$

а не $+\tfrac{\pi}{3}$. Итоговая форма $t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$ от этого не меняется.

в) $x=1$

1) Опорный угол

$$\arccos(1)=0.$$

Точка единственная на окружности: $(1,0)$. В интервале $[0,2\pi)$ ей соответствуют $t=0$ и «совпадающий» угол $t=2\pi$; в общем виде записывают кратность периода.

2) Координаты и общее решение

$$M(0)=M(2\pi)=\big(1,0\big),\qquad t=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

1) Опорный угол

$$\arccos\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}=45^\circ.$$

$x>0\Rightarrow$ I и IV четверти: углы $+\frac{\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{\pi}{4}$ и $2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$).

2) Координаты точек

$$M_1\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\big(\cos\tfrac{\pi}{4},\ \sin\tfrac{\pi}{4}\big)=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\ \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right),$$ $$M_2\!\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)=\big(\cos\tfrac{7\pi}{4},\ \sin\tfrac{7\pi}{4}\big)=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\ -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

3) Общее решение

$$t=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$