ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти на числовой окружности точки с данной абсциссой:

а) $x = 0$:

Подходящие точки:

$$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{3\pi}{2} — 2\pi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

б) $x = -\frac{1}{2}$:

Подходящие точки:

$$M_1\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{2\pi}{3}\right);$$ $$M_2\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{4\pi}{3}\right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{4\pi}{3} — 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Подходящие точки:

$$M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{6}\right);$$ $$M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{7\pi}{6}\right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{7\pi}{6} — 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $x = -1$:

Подходящая точка:

$$M(-1; 0) = M(\pi);$$

Ответ: $t = \pi + 2\pi n$.

Нужно найти все точки на числовой (единичной) окружности с заданной абсциссой $x$.
Напомним базовые факты:

• Числовая окружность — это единичная окружность $x^2 + y^2 = 1$.
• Точка $M(t)$ на этой окружности параметризуется углом $t$ (в радианах) так:

  $$M(t) = (\cos t,\, \sin t).$$

  Значит, абсцисса $x$ есть $\cos t$, а ордината $y$ — $\sin t$.

• Для любого числа $a$ из промежутка $[-1,1]$ общее решение уравнения

  $$\cos t = a$$

  имеет вид

  $$t = \pm \arccos a + 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

  Это две симметричные относительно оси $Ox$ точки на окружности (кроме граничных случаев $a=\pm1$ и $a=0$, где решения имеют особый вид, но формула по сути та же).

а) $x=0$

1) Переход к уравнению на угол

Ищем все $t$, для которых

$$\cos t = 0.$$

2) Базовый угол и квадранты

$\cos t = 0$ на оси $Oy$ — это верхняя и нижняя точки окружности.
Стандартные углы:

$$t_1=\frac{\pi}{2}\quad (\text{вверх}),\qquad t_2=\frac{3\pi}{2}\quad (\text{вниз}).$$

3) Обобщение на все обороты

Полный набор решений:

$$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Иногда удобно переписать второй ряд как

$$\frac{3\pi}{2}+2\pi n=\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2\pi(n+1)=-\frac{\pi}{2}+2\pi m,$$

то есть совместить оба ряда в компактную запись:

$$\boxed{\,t=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z\,}.$$

4) Точки на окружности

$$M_1(0;1)=M_1\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right),\qquad M_2(0;-1)=M_2\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right).$$

Ответ для (а): $t=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

б) $x=-\dfrac{1}{2}$

1) Переход к уравнению на угол

$$\cos t=-\frac{1}{2}.$$

2) Опорный (острый) угол

Сначала находим острый угол $\alpha$ такой, что $\cos\alpha=\dfrac{1}{2}$.
Это известный угол:

$$\alpha=\frac{\pi}{3}\quad\Bigl(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\Bigr).$$

3) Где косинус отрицательный?

$\cos t<0$ во II и III квадрантах. Углы там выражаются так:

$$t=\pi-\alpha\quad(\text{II квадрант}),\qquad t=\pi+\alpha\quad(\text{III квадрант}).$$

Подставляем $\alpha=\frac{\pi}{3}$:

$$t_1=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3},\qquad t_2=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.$$

4) Обобщение на все обороты

$$t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Чтобы записать короче, второй ряд можно сдвинуть на полный оборот:

$$\frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3},$$

и тогда общий вид:

$$\boxed{\,t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z\,}.$$

5) Точки на окружности (для контроля)

Используем табличные значения синуса:

$$\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значит,

$$M_1\!\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=M_1\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right),\quad M_2\!\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=M_2\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right).$$

Ответ для (б): $t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

в) $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

1) Переход к уравнению на угол

$$\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

2) Опорный (острый) угол

Находим $\alpha$ из $\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это классический угол:

$$\alpha=\frac{\pi}{6}\quad\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).$$

3) Квадранты с отрицательным косинусом

Снова II и III квадранты:

$$t=\pi-\alpha\quad\text{и}\quad t=\pi+\alpha.$$

Подставляем $\alpha=\frac{\pi}{6}$:

$$t_1=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6},\qquad t_2=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}.$$

4) Обобщение на все обороты

$$t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Сократим запись, отняв полный оборот от второй ветки:

$$\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}.$$

Итого:

$$\boxed{\,t=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z\,}.$$

5) Точки на окружности (проверка)

$$\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$M_1\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)=M_1\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right),\quad M_2\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)=M_2\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right).$$

Ответ для (в): $t=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

г) $x=-1$

1) Переход к уравнению на угол

$$\cos t=-1.$$

2) Единственная (модуль $2\pi$) точка

$\cos t=-1$ достигается в левой крайней точке окружности:

$$t=\pi \quad\text{(и все углы, отличающиеся на полный оборот)}.$$

3) Обобщение на все обороты

$$\boxed{\,t=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z\,}.$$

4) Точка на окружности

$$M(-1,0)=M(\pi).$$

Итоговые ответы:

а) $x=0$: $\displaystyle t=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi n$.

б) $x=-\dfrac{1}{2}$: $\displaystyle t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$.

в) $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $\displaystyle t=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.

г) $x=-1$: $\displaystyle t=\pi+2\pi n$.