ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${}_{}^{}$$C_x^3 = 2C_x^2$;

б) $$$C_x^{x — 2} = 15$

Решить уравнение:

а) ${}_{}^{}$$C_x^3 = 2C_x^2$;

$$\frac{x!}{3!\cdot (x-3)!}=2\cdot \frac{x!}{2!\cdot (x-2)!};$$

$$\frac{x!}{3! \cdot (x — 3)!} = 2 \cdot \frac{x!}{2! \cdot (x — 2)!};$$ $$\frac{1}{3\cdot 2\cdot (x-3)!}=\frac{2}{2\cdot (x-2)!};$$

$$\frac{1}{3 \cdot 2 \cdot (x — 3)!} = \frac{2}{2 \cdot (x — 2)!};$$ $$6(x-3)!=(x-2)!;$$

$$6(x — 3)! = (x — 2)!;$$ $$6(x-3)!=(x-2)(x-3)!;$$

$$6(x — 3)! = (x — 2)(x — 3)!;$$ $$6=x-2;$$

$$6 = x — 2;$$ $$x = 6 + 2 = 8;$$

Ответ: 8.

б) $$$C_x^{x — 2} = 15$;

$$\frac{x!}{(x-2)!\cdot (x-(x-2))!}=15;$$

$$\frac{x!}{(x — 2)! \cdot (x — (x — 2))!} = 15;$$ $$\frac{x(x-1)\cdot (x-2)!}{(x-2)!\cdot 2!}=15;$$

$$\frac{x(x — 1) \cdot (x — 2)!}{(x — 2)! \cdot 2!} = 15;$$ $$\frac{x(x-1)}{2}-15=0;$$

$$\frac{x(x — 1)}{2} — 15 = 0;$$ $$x^2-x-30=0;$$

$$x^2 — x — 30 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 30=1+120=121,\text{ тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 30 = 1 + 120 = 121, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 11}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 11}{2} = 6;$$

Ответ: 6.

а) Решить уравнение:

$$C_x^3 = 2 \cdot C_x^2$$

Шаг 1. Вспоминаем формулу сочетаний:

$$C_x^k = \frac{x!}{k! \cdot (x — k)!}$$

Шаг 2. Подставим формулы в уравнение:

$$\frac{x!}{3! \cdot (x — 3)!} = 2 \cdot \frac{x!}{2! \cdot (x — 2)!}$$

Шаг 3. Сократим обе части уравнения на $x!$ (так как $x! > 0$ при $x \in \mathbb{N}$):

$$\frac{1}{3! \cdot (x — 3)!} = \frac{2}{2! \cdot (x — 2)!}$$

Шаг 4. Подставим значения факториалов:

• $3! = 6$
• $2! = 2$

$$\frac{1}{6 \cdot (x — 3)!} = \frac{2}{2 \cdot (x — 2)!}$$ $$\frac{1}{6(x — 3)!} = \frac{1}{(x — 2)!}$$

Шаг 5. Перепишем уравнение:

$$6(x — 3)! = (x — 2)!$$

Шаг 6. Представим правую часть через левую:

$$(x — 2)! = (x — 2) \cdot (x — 3)!$$

Подставим:

$$6(x — 3)! = (x — 2)(x — 3)!$$

Шаг 7. Сократим обе части на $(x — 3)! \ne 0$:

$$6 = x — 2$$

Шаг 8. Найдем $x$:

$$x = 6 + 2 = 8$$

Ответ: $\boxed{8}$

б) Решить уравнение:

$$C_x^{x — 2} = 15$$

Шаг 1. Используем формулу сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n — k)!}$$

В нашем случае:

• $n = x$
• $k = x — 2$
• Тогда $n — k = x — (x — 2) = 2$

$$C_x^{x — 2} = \frac{x!}{(x — 2)! \cdot 2!}$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$\frac{x!}{(x — 2)! \cdot 2!} = 15$$ $$\frac{x \cdot (x — 1) \cdot (x — 2)!}{(x — 2)! \cdot 2} = 15$$

Шаг 3. Сократим на $(x — 2)!$:

$$\frac{x(x — 1)}{2} = 15$$

Шаг 4. Избавимся от дроби:

$$x(x — 1) = 30$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$x^2 — x = 30$$ $$x^2 — x — 30 = 0$$

Шаг 6. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$$ $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{1 \pm 11}{2}$$ $$x_1 = \frac{1 — 11}{2} = -5,\quad x_2 = \frac{1 + 11}{2} = 6$$

Шаг 7. Оставим только натуральное решение:

$$x = 6$$

Ответ: $\boxed{6}$