ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение n, при котором:

а) Число $C_{n+1}^2$ составляет 80% от числа $C_n^3$;

б) Число $C_{n+1}^3$ составляет 120% от числа $C_n^4$;

в) Число $C_{2n}^{n+1}$ составляет 56% от числа $C_{2n+1}^{n-1}$;

г) Число $C_{2n+3}^n$ составляет 120% от числа $C_{2n+2}^{n+1}$

Найти значение $n$, при котором:

а) Число $C_{n+1}^2$ составляет 80% от числа $C_n^3$;

$$C_{n+1}^2 = \frac{80}{100} \cdot C_n^3;$$ $$\frac{(n + 1)!}{2! \cdot ((n + 1) — 2)!} = \frac{4}{5} \cdot \frac{n!}{3! \cdot (n — 3)!};$$ $$\frac{(n + 1)n \cdot (n — 1)!}{2 \cdot (n — 1)!} = \frac{4}{5} \cdot \frac{n(n — 1)(n — 2) \cdot (n — 3)!}{3 \cdot 2 \cdot (n — 3)!};$$ $$\frac{n + 1}{2} = \frac{4(n — 1)(n — 2)}{30};$$ $$15(n + 1) = 4(n^2 — 2n — n + 2);$$ $$15n + 15 = 4n^2 — 12n + 8;$$ $$4n^2 — 27n — 7 = 0;$$ $$D = 27^2 + 4 \cdot 4 \cdot 7 = 729 + 112 = 841, \text{ тогда:}$$ $$n_1 = \frac{27 — 29}{2 \cdot 4} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4};$$ $$n_2 = \frac{27 + 29}{2 \cdot 4} = \frac{56}{8} = 7;$$

Ответ: 7.

б) Число $C_{n+1}^3$ составляет 120% от числа $C_n^4$;

$$C_{n+1}^3 = \frac{120}{100} \cdot C_n^4;$$ $$\frac{(n + 1)!}{3! \cdot ((n + 1) — 3)!} = \frac{6}{5} \cdot \frac{n!}{4! \cdot (n — 4)!};$$ $$\frac{(n + 1)n(n — 1) \cdot (n — 2)!}{3 \cdot 2 \cdot (n — 2)!} = \frac{6}{5} \cdot \frac{n(n — 1)(n — 2)(n — 3) \cdot (n — 4)!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (n — 4)!};$$ $$\frac{n + 1}{6} = \frac{6(n — 2)(n — 3)}{120};$$ $$20(n + 1) = 6(n^2 — 3n — 2n + 6);$$ $$20n + 20 = 6n^2 — 30n + 36;$$ $$6n^2 — 50n + 16 = 0;$$ $$3n^2 — 25n + 8 = 0;$$ $$D = 25^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 625 — 96 = 529, \text{ тогда:}$$ $$n_1 = \frac{25 — 23}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$$ $$n_2 = \frac{25 + 23}{2 \cdot 3} = \frac{48}{6} = 8;$$

Ответ: 8.

в) Число $C_{2n}^{n+1}$ составляет 56% от числа $C_{2n+1}^{n-1}$;

$$C_{2n}^{n+1} = \frac{56}{100} \cdot C_{2n+1}^{n-1};$$ $$\frac{(2n)!}{(n + 1)! \cdot (2n — (n + 1))!} = \frac{14}{25} \cdot \frac{(2n + 1)!}{(n — 1)! \cdot ((2n + 1) — (n — 1))!};$$ $$\frac{(2n)!}{(n + 1)! \cdot (n — 1)!} = \frac{14}{25} \cdot \frac{(2n + 1) \cdot (2n)!}{(n — 1)! \cdot (n + 2)!};$$ $$\frac{25}{(n + 1)!} = \frac{14(2n + 1)}{(n + 2) \cdot (n + 1)!};$$ $$25 = \frac{14(2n + 1)}{(n + 2)};$$ $$25(n + 2) = 14(2n + 1);$$ $$25n + 50 = 28n + 14;$$ $$3n = 36;$$ $$n = \frac{36}{3} = 12;$$

Ответ: 12.

г) Число $C_{2n+3}^n$ составляет 120% от числа $C_{2n+2}^{n+1}$;

$$C_{2n+3}^n = \frac{120}{100} \cdot C_{2n+2}^{n+1};$$ $$\frac{(2n + 3)!}{n! \cdot ((2n + 3) — n)!} = \frac{6}{5} \cdot \frac{(2n + 2)!}{(n + 1)! \cdot ((2n + 2) — (n + 1))!};$$ $$\frac{(2n + 3) \cdot (2n + 2)!}{n! \cdot (n + 3)!} = \frac{6}{5} \cdot \frac{(2n + 2)!}{(n + 1)! \cdot n! \cdot (n + 1)!};$$ $$\frac{5(2n + 3)}{(n + 3)(n + 2) \cdot (n + 1)!} = \frac{6}{(n + 1) \cdot (n + 1)!};$$ $$\frac{5(2n + 3)}{(n + 3)(n + 2)} = \frac{6}{n + 1};$$ $$5(2n + 3)(n + 1) = 6(n + 3)(n + 2);$$ $$5(2n^2 + 2n + 3n + 3) = 6(n^2 + 2n + 3n + 6);$$ $$10n^2 + 25n + 15 = 6n^2 + 30n + 36;$$ $$4n^2 — 5n — 21 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 4 \cdot 21 = 25 + 336 = 361, \text{ тогда:}$$ $$n_1 = \frac{5 — 19}{2 \cdot 4} = -\frac{14}{8} = -\frac{7}{4};$$ $$n_2 = \frac{5 + 19}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3;$$

Ответ: 3.

а) Число $C_{n+1}^2$ составляет 80% от числа $C_n^3$

Шаг 1: Запись условия

$$C_{n+1}^2 = 0{,}8 \cdot C_n^3 \quad\text{или}\quad C_{n+1}^2 = \frac{4}{5} \cdot C_n^3$$

Шаг 2: Распишем обе стороны по формуле сочетаний

$$\frac{(n + 1)!}{2!(n — 1)!} = \frac{4}{5} \cdot \frac{n!}{3!(n — 3)!}$$

Шаг 3: Упростим факториалы

$$\frac{(n+1)n(n-1)!}{2(n — 1)!} = \frac{4}{5} \cdot \frac{n(n — 1)(n — 2)(n — 3)!}{6(n — 3)!}$$

Сократим $(n — 1)!$ и $(n — 3)!$:

$$\frac{n + 1}{2} = \frac{4(n — 1)(n — 2)}{30}$$

Шаг 4: Умножим обе части на 30

$$15(n + 1) = 4(n — 1)(n — 2)$$

Шаг 5: Раскроем скобки

$$15n + 15 = 4(n^2 — 3n + 2) \quad \Rightarrow \quad 15n + 15 = 4n^2 — 12n + 8$$

Шаг 6: Приведем всё к одному виду

$$0 = 4n^2 — 27n — 7$$

Шаг 7: Решим квадратное уравнение

$$D = (-27)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 729 + 112 = 841 \quad \Rightarrow \sqrt{D} = 29$$ $$n = \frac{27 \pm 29}{2 \cdot 4} \Rightarrow n_1 = -\frac{1}{4},\quad n_2 = \frac{56}{8} = 7$$

Ответ: $\boxed{7}$

б) Число $C_{n+1}^3$ составляет 120% от числа $C_n^4$

Шаг 1: Запись условия

$$C_{n+1}^3 = \frac{6}{5} \cdot C_n^4$$

Шаг 2: Запишем формулы

$$\frac{(n+1)!}{3!(n — 2)!} = \frac{6}{5} \cdot \frac{n!}{4!(n — 4)!}$$

Шаг 3: Упростим факториалы

$$\frac{(n+1)n(n — 1)(n — 2)!}{6(n — 2)!} = \frac{6}{5} \cdot \frac{n(n — 1)(n — 2)(n — 3)(n — 4)!}{24(n — 4)!}$$

Сократим $(n — 2)!$, $(n — 4)!$, $n(n — 1)(n — 2)$:

$$\frac{n + 1}{6} = \frac{6(n — 2)(n — 3)}{120}$$

Шаг 4: Умножим обе части на 120

$$20(n + 1) = 6(n^2 — 5n + 6) \quad \Rightarrow \quad 20n + 20 = 6n^2 — 30n + 36$$

Шаг 5: Приведем к квадратному

$$6n^2 — 50n + 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3n^2 — 25n + 8 = 0$$

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

$$D = 625 — 96 = 529 \Rightarrow \sqrt{D} = 23$$ $$n = \frac{25 \pm 23}{6} \Rightarrow n_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\quad n_2 = \frac{48}{6} = 8$$

Ответ: $\boxed{8}$

в) Число $C_{2n}^{n+1}$ составляет 56% от $C_{2n+1}^{n-1}$

Шаг 1: Условие

$$C_{2n}^{n+1} = \frac{14}{25} \cdot C_{2n+1}^{n-1}$$

Шаг 2: Формулы сочетаний

$$\frac{(2n)!}{(n+1)! \cdot (n-1)!} = \frac{14}{25} \cdot \frac{(2n + 1)!}{(n — 1)! \cdot (n + 2)!}$$

Сократим $(n — 1)!$, $(2n)!$:

$$\frac{25}{(n + 1)!} = \frac{14(2n + 1)}{(n + 2)(n + 1)!}$$

Шаг 3: Умножим обе части на $(n + 1)!$

$$25 = \frac{14(2n + 1)}{(n + 2)} \Rightarrow 25(n + 2) = 14(2n + 1)$$

Шаг 4: Раскроем скобки

$$25n + 50 = 28n + 14 \Rightarrow 3n = 36 \Rightarrow n = \boxed{12}$$

г) Число $C_{2n+3}^n$ составляет 120% от $C_{2n+2}^{n+1}$

Шаг 1: Условие

$$C_{2n+3}^n = \frac{6}{5} \cdot C_{2n+2}^{n+1}$$

Шаг 2: Формулы

$$\frac{(2n + 3)!}{n! \cdot (n + 3)!} = \frac{6}{5} \cdot \frac{(2n + 2)!}{(n + 1)! \cdot (n + 1)!}$$

Сократим $(2n + 2)!$:

$$\frac{5(2n + 3)}{(n + 3)(n + 2)} = \frac{6}{n + 1}$$

Шаг 3: Умножим обе части

$$5(2n + 3)(n + 1) = 6(n + 3)(n + 2)$$

Шаг 4: Раскроем скобки

Слева:

$$(2n + 3)(n + 1) = 2n^2 + 5n + 3 \quad \Rightarrow \cdot 5 = 10n^2 + 25n + 15$$

Справа:

$$(n + 3)(n + 2) = n^2 + 5n + 6 \quad \Rightarrow \cdot 6 = 6n^2 + 30n + 36$$ $$10n^2 + 25n + 15 = 6n^2 + 30n + 36 \Rightarrow 4n^2 — 5n — 21 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$D = 25 + 336 = 361 \Rightarrow \sqrt{D} = 19 \Rightarrow n = \frac{5 \pm 19}{8} = -\frac{14}{8},\ 3$$

Ответ: $\boxed{3}$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{7}$
б) $\boxed{8}$
в) $\boxed{12}$
г) $\boxed{3}$