ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\frac{7! + 8!}{5! + 6!} = \frac{7! + 8 \cdot 7!}{5! + 6 \cdot 5!} = \frac{7! \cdot (1 + 8)}{5! \cdot (1 + 6)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 9}{5! \cdot 7} = 6 \cdot 9 = 54;$$

Ответ: 54.

б)

$$\frac{1}{4!} + \frac{10}{5!} + \frac{630}{6!} = \frac{1}{4!} + \frac{10}{5 \cdot 4!} + \frac{630}{6 \cdot 5 \cdot 4!} = \frac{1 + 2 + 21}{4!} = \frac{24}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 1;$$

Ответ: 1.

в)

$$\frac{1}{6!} + \frac{1}{5!} — \frac{49}{7!} = \frac{7}{7 \cdot 6!} + \frac{7 \cdot 6}{7 \cdot 6 \cdot 5!} — \frac{49}{7!} = \frac{7 + 42 — 49}{7!} = \frac{0}{7!} = 0;$$

Ответ: 0.

г)

$$\frac{7}{11}\cdot \frac{(10!{)}^2-(9!{)}^2}{(8!{)}^2-(7!{)}^2}=\frac{7}{11}\cdot \frac{(10!-9!)(10!+9!)}{(8!-7!)(8!+7!)}=$$

$$\frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 — (9!)^2}{(8!)^2 — (7!)^2} = \frac{7}{11} \cdot \frac{(10! — 9!) (10! + 9!)}{(8! — 7!) (8! + 7!)} =$$ $$=\frac{7}{11}\cdot \frac{(10\cdot 9!-9!)(10\cdot 9!+9!)}{(8\cdot 7!-7!)(8\cdot 7!+7!)}=\frac{7}{11}\cdot \frac{9!\cdot 9!\cdot (10-1)(10+1)}{7!\cdot 7!\cdot (8-1)(8+1)}=$$

$$= \frac{7}{11} \cdot \frac{(10 \cdot 9! — 9!) (10 \cdot 9! + 9!)}{(8 \cdot 7! — 7!) (8 \cdot 7! + 7!)} = \frac{7}{11} \cdot \frac{9! \cdot 9! \cdot (10 — 1)(10 + 1)}{7! \cdot 7! \cdot (8 — 1)(8 + 1)} =$$ $$= \frac{7}{11} \cdot \frac{9 \cdot 8 \cdot 7! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! \cdot 9 \cdot 11}{7! \cdot 7! \cdot 7 \cdot 9} = (9 \cdot 8)^2 = 72^2 = 5184;$$

Ответ: 5184.

а)

$$\frac{7! + 8!}{5! + 6!}$$

Шаг 1. Представим $8!$ как $8 \cdot 7!$, а $6!$ как $6 \cdot 5!$:

$$\frac{7! + 8 \cdot 7!}{5! + 6 \cdot 5!}$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

$$\frac{7! (1 + 8)}{5! (1 + 6)} = \frac{7! \cdot 9}{5! \cdot 7}$$

Шаг 3. Распишем $7!$ как $7 \cdot 6 \cdot 5!$, и сократим $5!$:

$$\frac{7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 9}{5! \cdot 7} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 9}{7}$$

Шаг 4. Сократим $7$:

$$6 \cdot 9 = 54$$

Ответ: 54

б)

$$\frac{1}{4!} + \frac{10}{5!} + \frac{630}{6!}$$

Шаг 1. Представим $5!$ как $5 \cdot 4!$, а $6!$ как $6 \cdot 5 \cdot 4!$:

$$\frac{1}{4!} + \frac{10}{5 \cdot 4!} + \frac{630}{6 \cdot 5 \cdot 4!}$$

Шаг 2. Приведём все три дроби к общему знаменателю $4!$:

$$= \frac{1 + 2 + 21}{4!}$$

Объяснение:

• $\frac{10}{5 \cdot 4!} = \frac{2}{4!}$
• $\frac{630}{6 \cdot 5 \cdot 4!} = \frac{21}{4!}$

Шаг 3. Сложим числитель:

$$\frac{24}{4!}$$

Шаг 4. Найдём значение $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$:

$$\frac{24}{24} = 1$$

Ответ: 1

в)

$$\frac{1}{6!} + \frac{1}{5!} — \frac{49}{7!}$$

Шаг 1. Представим $\frac{1}{6!}$ как $\frac{7}{7 \cdot 6!}$, $\frac{1}{5!} = \frac{7 \cdot 6}{7 \cdot 6 \cdot 5!}$, и $\frac{49}{7!} = \frac{49}{7 \cdot 6!}$:
Заменим всё на дроби с общим знаменателем $7!$:

$$= \frac{7}{7 \cdot 6!} + \frac{42}{7 \cdot 6!} — \frac{49}{7 \cdot 6!}$$

Шаг 2. Сложим числители:

$$\frac{7 + 42 — 49}{7!} = \frac{0}{7!} = 0$$

Ответ: 0

г)

$$\frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 — (9!)^2}{(8!)^2 — (7!)^2}$$

Шаг 1. Распознаём разность квадратов:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

Применим:

• Числитель: $(10! — 9!)(10! + 9!)$
• Знаменатель: $(8! — 7!)(8! + 7!)$

$$= \frac{7}{11} \cdot \frac{(10! — 9!) (10! + 9!)}{(8! — 7!) (8! + 7!)}$$

Шаг 2. Представим факториалы через предыдущие:

$$10! = 10 \cdot 9!, \quad 8! = 8 \cdot 7!$$

Подставим:

$$= \frac{7}{11} \cdot \frac{(10 \cdot 9! — 9!) (10 \cdot 9! + 9!)}{(8 \cdot 7! — 7!) (8 \cdot 7! + 7!)}$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель:

• В числителе: $9!$
• В знаменателе: $7!$

$$= \frac{7}{11} \cdot \frac{9! \cdot (10 — 1) \cdot 9! \cdot (10 + 1)}{7! \cdot (8 — 1) \cdot 7! \cdot (8 + 1)}$$ $$= \frac{7}{11} \cdot \frac{9! \cdot 9 \cdot 9! \cdot 11}{7! \cdot 7 \cdot 7! \cdot 9}$$

Шаг 4. Упростим факториалы:

• $9! = 9 \cdot 8 \cdot 7!$

Подставим:

$$= \frac{7}{11} \cdot \frac{9 \cdot 8 \cdot 7! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! \cdot 11}{7! \cdot 7! \cdot 7 \cdot 9}$$

Сократим:

• $7!$ и $7!$ — в числителе и знаменателе
• $11$ — сократится
• $9$ — в числителе дважды, в знаменателе один раз → остаётся $9$

$$= \frac{7 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 8}{7}$$

Сократим $7$:

$$= (9 \cdot 8)^2 = 72^2 = 5184$$

Ответ: 5184