ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее натуральное число $$$n$, для которого:

а) верно неравенство $(n + 1)! > (0{,}99n + 5) \cdot n!$

б) верно неравенство $(n + 1)! > (n + 333) \cdot (n — 1)!$

в) число $\dfrac{2^n}{n!}$ меньше единицы;

г) число $n!$ составляет более 1000% от числа $(n-1)!$

Найти наименьшее натуральное число n, для которого:

а)

$$(n + 1)! > (0{,}99n + 5) \cdot n!;$$

$$(n + 1) \cdot n! > (0{,}99n + 5) \cdot n!;$$$$$$n + 1 > 0{,}99n + 5;$$

$$0{,}01n + 1 > 5;$$

$$0{,}01n > 4;$$

$$n > 400;$$

Ответ: 401

б)

$$(n + 1)! > (n + 333) \cdot (n — 1)!;$$

$$(n + 1) \cdot n \cdot (n — 1)! > (n + 333) \cdot (n — 1)!;$$$$$$n(n + 1) > n + 333;$$

$$n^2 + n > n + 333;$$

$$n^2 > 333;$$

$$18^2 = 324 < 333,\quad 19^2 = 361 > 333 \Rightarrow \sqrt{333} \in (18, 19);$$

$$n > \sqrt{333} \Rightarrow n = 19;$$

Ответ: 19

в)

$$\frac{2^n}{n!} < 1;$$

Методом перебора:

• $n = 1$: $\frac{2^1}{1!} = \frac{2}{1} = 2$;
• $n = 2$: $\frac{2^2}{2!} = \frac{4}{2} = 2$;
• $n = 3$: $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$;
• $n = 4$: $\frac{16}{24} = \frac{2}{3} < 1$;

Ответ: 4

г)

$$n! > (n — 1)! \cdot 1000\%;$$

$$n! > 10 \cdot (n — 1)!;$$

$$n \cdot (n — 1)! > 10 \cdot (n — 1)!;$$

$$n > 10;$$

Ответ: 11

а)

$$(n + 1)! > (0{,}99n + 5) \cdot n!$$

Шаг 1. Преобразуем левую часть

$$(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$$

Подставим:

$$(n + 1) \cdot n! > (0{,}99n + 5) \cdot n!$$

Шаг 2. Сократим обе части на $n!$, так как $n!$ ≠ 0 для $n \geq 1$:

$$n + 1 > 0{,}99n + 5$$

Шаг 3. Переносим все в одну сторону:

$$n + 1 — 0{,}99n — 5 > 0$$ $$0{,}01n — 4 > 0$$

Шаг 4. Решаем неравенство:

$$0{,}01n > 4 \Rightarrow n > 400$$

Шаг 5. Так как $n$ — натуральное число, наименьшее подходящее значение:

$$n = 401$$

Ответ: 401

б)

$$(n + 1)! > (n + 333) \cdot (n — 1)!$$

Шаг 1. Представим $(n + 1)!$ через $(n — 1)!$:

$$(n + 1)! = (n + 1) \cdot n \cdot (n — 1)!$$

Подставим в неравенство:

$$(n + 1) \cdot n \cdot (n — 1)! > (n + 333) \cdot (n — 1)!$$

Шаг 2. Сократим обе части на $(n — 1)!$:

$$n(n + 1) > n + 333$$

Шаг 3. Раскроем скобки в левой части:

$$n^2 + n > n + 333$$

Шаг 4. Упростим:

Вычтем $n$ из обеих частей:

$$n^2 > 333$$

Шаг 5. Найдём приближённое значение:

$$\sqrt{324} = 18,\quad \sqrt{361} = 19 \Rightarrow \sqrt{333} \in (18, 19) \Rightarrow n > \sqrt{333} \Rightarrow n \geq 19$$

Шаг 6. Проверим:

Для $n = 19$:

• Левая часть: $n(n + 1) = 19 \cdot 20 = 380$
• Правая часть: $n + 333 = 352$

$$380 > 352 \Rightarrow \text{выполняется}$$

Ответ: 19

в)

$$\frac{2^n}{n!} < 1$$

Ищем наименьшее значение $n$, при котором это неравенство верно.

Шаг 1. Проверим значения по порядку:

• $n = 1:\quad \frac{2^1}{1!} = \frac{2}{1} = 2 > 1$
• $n = 2:\quad \frac{4}{2} = 2 > 1$
• $n = 3:\quad \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 > 1$
• $n = 4:\quad \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \approx 0{,}66 < 1$

Шаг 2. Неравенство впервые выполняется при $n = 4$

Ответ: 4

г)

$$n! > (n — 1)! \cdot 1000\%$$

Шаг 1. Переведем проценты в десятичную дробь:

$$1000\% = \frac{1000}{100} = 10$$

Подставим:

$$n! > 10 \cdot (n — 1)!$$

Шаг 2. Запишем левую часть как $n \cdot (n — 1)!$:

$$n \cdot (n — 1)! > 10 \cdot (n — 1)!$$

Шаг 3. Сократим обе части на $(n — 1)!$:

$$n > 10$$

Шаг 4. Ответ — наименьшее натуральное $n$, больше 10:

$$n = 11$$

Ответ: 11