ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $C_{17}^{2}$ и $A_{17}^{2}$;

б) $C_{100}^{2}$ и $A_{100}^{2}$;

в) $C_{5}^{3}$ и $A_{5}^{3}$;

г) $C_{8}^{4}$ и $A_{8}^{4}$

Вычислить значение:

а) $C_{17}^{2}$ и $A_{17}^{2}$;
$A_{17}^{2} = 17(17 — 1) = 17 \cdot 16 = 272;$
$C_{17}^{2} = \frac{A_{17}^{2}}{2} = \frac{272}{2} = 136;$
Ответ: 136; 272.

б) $C_{100}^{2}$ и $A_{100}^{2}$;
$A_{100}^{2} = 100(100 — 1) = 100 \cdot 99 = 9\,900;$
$C_{100}^{2} = \frac{A_{100}^{2}}{2} = \frac{9\,900}{2} = 4\,950;$
Ответ: 4 950; 9 900.

в) $C_{5}^{3}$ и $A_{5}^{3}$;
$A_{5}^{3} = \frac{5!}{(5 — 3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 60;$
$C_{5}^{3} = \frac{A_{5}^{3}}{3!} = \frac{60}{3 \cdot 2} = \frac{60}{6} = 10;$
Ответ: 10; 60.

г) $C_{8}^{4}$ и $A_{8}^{4}$;
$A_{8}^{4} = \frac{8!}{(8 — 4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 1\,680;$
$C_{8}^{4} = \frac{A_{8}^{4}}{4!} = \frac{1\,680}{4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{1\,680}{24} = 70;$
Ответ: 70; 1 680.

а) Вычислить $C_{17}^{2}$ и $A_{17}^{2}$

Шаг 1. Определим, что требуется найти

• $A_{17}^{2}$ — число размещений из 17 по 2 (порядок важен)
• $C_{17}^{2}$ — число сочетаний из 17 по 2 (порядок не важен)

Шаг 2. Формула размещений:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n — k)!}$$

Подставим:

$$A_{17}^2 = \frac{17!}{(17 — 2)!} = \frac{17!}{15!}$$

Теперь сократим факториалы:

$$\frac{17!}{15!} = 17 \cdot 16 \cdot \frac{15!}{15!} = 17 \cdot 16 = 272$$

Шаг 3. Формула сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n — k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$$

Подставим:

$$C_{17}^2 = \frac{272}{2!} = \frac{272}{2} = 136$$

Ответ: $\boxed{136; \; 272}$

б) Вычислить $C_{100}^{2}$ и $A_{100}^{2}$

Шаг 1. Размещения:

$$A_{100}^2 = \frac{100!}{(100 — 2)!} = \frac{100!}{98!}$$

Сократим:

$$\frac{100!}{98!} = 100 \cdot 99 = 9900$$

Шаг 2. Сочетания:

$$C_{100}^2 = \frac{9900}{2!} = \frac{9900}{2} = 4950$$

Ответ: $\boxed{4950; \; 9900}$

в) Вычислить $C_{5}^{3}$ и $A_{5}^{3}$

Шаг 1. Размещения:

$$A_5^3 = \frac{5!}{(5 — 3)!} = \frac{5!}{2!}$$

Посчитаем:

$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120,\quad 2! = 2$$ $$A_5^3 = \frac{120}{2} = 60$$

Шаг 2. Сочетания:

$$C_5^3 = \frac{60}{3!},\quad 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$ $$C_5^3 = \frac{60}{6} = 10$$

Ответ: $\boxed{10; \; 60}$

г) Вычислить $C_{8}^{4}$ и $A_{8}^{4}$

Шаг 1. Размещения:

$$A_8^4 = \frac{8!}{(8 — 4)!} = \frac{8!}{4!}$$

Вспомним:

• $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! = 1680 \cdot 4!$
• $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Сократим:

$$A_8^4 = \frac{8!}{4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5$$ $$8 \cdot 7 = 56,\quad 56 \cdot 6 = 336,\quad 336 \cdot 5 = 1680$$ $$A_8^4 = 1680$$

Шаг 2. Сочетания:

$$C_8^4 = \frac{1680}{4!} = \frac{1680}{24} = 70$$

Ответ: $\boxed{70; \; 1680}$

Итоговый ответ:

а) $C_{17}^2 = 136;\quad A_{17}^2 = 272$
б) $C_{100}^2 = 4950;\quad A_{100}^2 = 9900$
в) $C_{5}^3 = 10;\quad A_{5}^3 = 60$
г) $C_{8}^4 = 70;\quad A_{8}^4 = 1680$