ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$C_{27}^{2} — C_{26}^{2} = \frac{27(27 — 1)}{2} — \frac{26(26 — 1)}{2} = \frac{27 \cdot 26 — 26 \cdot 25}{2} = \frac{26(27 — 25)}{2} = \frac{26 \cdot 2}{2} = 26;$$

Ответ: 26.

б)

$$\frac{A_{10}^{3}}{C_{10}^{3}} = A_{10}^{3} : \frac{A_{10}^{3}}{3!} = A_{10}^{3} \cdot \frac{3!}{A_{10}^{3}} = 3 \cdot 2 = 6;$$

Ответ: 6.

в)

$$\frac{A_{8}^{6}}{A_{10}^{2}} = \frac{8!}{(8 — 6)!} : \frac{10!}{(10 — 2)!} = \frac{8!}{2!} \cdot \frac{8!}{10!} = \frac{8! \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!} = 8 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 = 224;$$

Ответ: 224.

г)

$$C_{11}^{5} — C_{11}^{6} = \frac{11!}{5! \cdot (11 — 5)!} — \frac{11!}{6! \cdot (11 — 6)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} — \frac{11!}{6! \cdot 5!} = 0;$$

Ответ: 0.

а) Вычислить $C_{27}^{2} — C_{26}^{2}$

Шаг 1. Вспомним формулу сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n(n — 1)}{2} \quad \text{(при \( k = 2 \))}$$ $$C_{27}^{2} = \frac{27 \cdot 26}{2}, \quad C_{26}^{2} = \frac{26 \cdot 25}{2}$$

Шаг 2. Вычитаем:

$$C_{27}^{2} — C_{26}^{2} = \frac{27 \cdot 26 — 26 \cdot 25}{2}$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель $26$:

$$= \frac{26(27 — 25)}{2} = \frac{26 \cdot 2}{2}$$

Шаг 4. Сокращаем:

$$= 26$$

Ответ: 26

б) Вычислить $\frac{A_{10}^{3}}{C_{10}^{3}}$

Шаг 1. Напомним формулы:

• $A_n^k = \frac{n!}{(n — k)!}$ — размещения
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n — k)!}$ — сочетания
• Отсюда: $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$

Шаг 2. Используем это:

$$\frac{A_{10}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{A_{10}^{3}}{A_{10}^{3} / 3!} = A_{10}^{3} \cdot \frac{3!}{A_{10}^{3}} = 3!$$

Шаг 3. Считаем $3!$:

$$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

Ответ: 6

в) Вычислить $\frac{A_8^6}{A_{10}^2}$

Шаг 1. Запишем размещения по формуле:

$$A_8^6 = \frac{8!}{(8 — 6)!} = \frac{8!}{2!}$$ $$A_{10}^2 = \frac{10!}{(10 — 2)!} = \frac{10!}{8!}$$

Шаг 2. Подставим в дробь:

$$\frac{A_8^6}{A_{10}^2} = \frac{8!}{2!} \div \frac{10!}{8!} = \frac{8!}{2!} \cdot \frac{8!}{10!}$$

Шаг 3. Объединим:

$$= \frac{8! \cdot 8!}{2! \cdot 10!}$$

Разложим $10!$:

$$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!$$

Подставим:

$$= \frac{8! \cdot 8!}{2 \cdot (10 \cdot 9 \cdot 8!)} = \frac{8!}{2 \cdot 10 \cdot 9}$$

Сократим $8!$:

$$= \frac{8!}{180}$$

Распишем $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320$

$$\frac{40320}{180} = 224$$

Ответ: 224

г) Вычислить $C_{11}^5 — C_{11}^6$

Шаг 1. Запишем оба сочетания по формуле:

$$C_{11}^5 = \frac{11!}{5! \cdot 6!}, \quad C_{11}^6 = \frac{11!}{6! \cdot 5!}$$

Заметим:

$$C_{11}^5 = C_{11}^6$$

Потому что:

$$C_n^k = C_n^{n — k}$$

Шаг 2. Тогда разность:

$$C_{11}^5 — C_{11}^6 = 0$$

Ответ: 0

Итоги:

а) $\boxed{26}$
б) $\boxed{6}$
в) $\boxed{224}$
г) $\boxed{0}$