ГДЗ 10-11 Класс Номер 53.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти коэффициент при $x^1$ у многочлена $P(x)$:

а) $$$P(x) = (1 + x)^7;$
$a = C_7^1 \cdot 1^{7 — 1} \cdot x^1 = 7 \cdot 1^6 \cdot x = 7x;$
Ответ: 7.

б) $$$P(x) = (1 + 3x)^4;$
$a = C_4^1 \cdot 1^{4 — 1} \cdot (3x)^1 = 4 \cdot 1^3 \cdot 3x = 12x;$
Ответ: 12.

в) $$$P(x) = (3 — 2x)^5;$
$a = C_5^1 \cdot 3^{5 — 1} \cdot (-2x)^1 = 5 \cdot 3^4 \cdot (-2x) = -10x \cdot 81 = -810x;$
Ответ: -810.

г) $$$P(x) = (x + 2)^5 — (2x + 1)^4;$
$a = C_5^1 \cdot x^1 \cdot 2^{5 — 1} — C_4^1 \cdot (2x)^1 \cdot 1^{4 — 1} = C_5^1 \cdot x \cdot 2^4 — C_4^1 \cdot 2x \cdot 1^3;$
$a = 5x \cdot 16 — 4 \cdot 2x = 80x — 8x = 72x;$
Ответ: 72.

а) $P(x) = (1 + x)^7$

Шаг 1. Формула бинома Ньютона

Разложение по формуле:

$$(1 + x)^7 = \sum_{k = 0}^{7} C_7^k \cdot 1^{7 — k} \cdot x^k$$

Шаг 2. Ищем член, содержащий $x^1$

Такой член соответствует $k = 1$:

$$a = C_7^1 \cdot 1^{6} \cdot x^1$$

Шаг 3. Вычисляем

• $C_7^1 = 7$
• $1^6 = 1$
• $x^1 = x$

$$a = 7 \cdot 1 \cdot x = 7x$$

Шаг 4. Ответ

Коэффициент при $x^1$:
Ответ: 7

б) $P(x) = (1 + 3x)^4$

Шаг 1. Формула бинома Ньютона

$$(1 + 3x)^4 = \sum_{k = 0}^{4} C_4^k \cdot 1^{4 — k} \cdot (3x)^k$$

Шаг 2. Ищем член с $x^1$

Чтобы получить $x^1$, нужно $k = 1$:

$$a = C_4^1 \cdot 1^{3} \cdot (3x)^1$$

Шаг 3. Вычисляем

• $C_4^1 = 4$
• $1^3 = 1$
• $(3x)^1 = 3x$

$$a = 4 \cdot 1 \cdot 3x = 12x$$

Шаг 4. Ответ

Коэффициент при $x^1$:
Ответ: 12

в) $P(x) = (3 — 2x)^5$

Шаг 1. Формула бинома Ньютона

$$(3 — 2x)^5 = \sum_{k = 0}^{5} C_5^k \cdot 3^{5 — k} \cdot (-2x)^k$$

Шаг 2. Ищем член с $x^1$

Нужен $k = 1$, т.к. $(-2x)^1$ даёт $x^1$:

$$a = C_5^1 \cdot 3^4 \cdot (-2x)$$

Шаг 3. Вычисляем

• $C_5^1 = 5$
• $3^4 = 81$
• $-2x$ остаётся без изменений

$$a = 5 \cdot 81 \cdot (-2x) = 405 \cdot (-2x) = -810x$$

Шаг 4. Ответ

Коэффициент при $x^1$:
Ответ: -810

г) $P(x) = (x + 2)^5 — (2x + 1)^4$

Шаг 1. Разложим каждый многочлен по биному Ньютона отдельно.

Первая часть: $(x + 2)^5$

$$(x + 2)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k \cdot x^k \cdot 2^{5 — k}$$

Нас интересует член с $x^1$, т.е. $k = 1$:

$$C_5^1 \cdot x^1 \cdot 2^4 = 5 \cdot x \cdot 16 = 80x$$

Вторая часть: $(2x + 1)^4$

$$(2x + 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k \cdot (2x)^k \cdot 1^{4 — k}$$

Нужен член с $x^1$, то есть $k = 1$:

$$C_4^1 \cdot (2x)^1 \cdot 1^3 = 4 \cdot 2x \cdot 1 = 8x$$

Шаг 2. Разность двух выражений:

$$a = (x + 2)^5 — (2x + 1)^4$$ $$a = 80x — 8x = 72x$$

Шаг 3. Ответ

Коэффициент при $x^1$:
Ответ: 72