ГДЗ 10-11 Класс Номер 53.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти коэффициент при $x^3$ у многочлена $P(x)$:

а) $$$P(x) = (1 + 3x)^4;$
$a = C_4^3 \cdot 1^{4 — 3} \cdot (3x)^3 = 4 \cdot 1^1 \cdot 27x^3 = 108x^3;$
Ответ: 108.

б) $$$P(x) = (3 — 2x)^5;$
$a = C_5^3 \cdot 3^{5 — 3} \cdot (-2x)^3 = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \cdot 3^2 \cdot (-8x^3);$
$a = -8x^3 \cdot \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2} \cdot 9 = -720x^3;$
Ответ: -720.

в) $$$P(x) = (x + 2)^5 — (2x + 1)^4;$
$a = C_5^3 \cdot x^3 \cdot 2^{5 — 3} — C_4^3 \cdot (2x)^3 \cdot 1^{4 — 3} = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \cdot x^3 \cdot 2^2 — 4 \cdot 8x^3 \cdot 1^1;$
$a = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2} \cdot 4x^3 — 32x^3 = 40x^3 — 32x^3 = 8x^3;$
Ответ: 8.

г) $$$P(x) = (x^2 — x)^4 + \left(3 — \dfrac{x}{3}\right)^4;$

Для первых скобок:
$a = C_4^k \cdot (x^2)^{4 — k} \cdot x^k = C_4^k \cdot x^{8 — 2k} \cdot x^k = C_4^k \cdot x^{8 — k};$
$k \leq 4;$
$8 — k \geq 4;$

Для вторых скобок:
$a = C_4^3 \cdot 3^{4 — 3} \cdot \left(-\dfrac{x}{3}\right)^3 = 4 \cdot 3^1 \cdot \left(-\dfrac{x^3}{27}\right) = -\dfrac{4}{9}x^3;$
Ответ: $-\dfrac{4}{9}$

а) $P(x) = (1 + 3x)^4$

Шаг 1. Формула бинома Ньютона:

$$(1 + 3x)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k \cdot 1^{4 — k} \cdot (3x)^k$$

Нас интересует член, в котором $x^3$, т.е. $k = 3$.

Шаг 2. Подставим $k = 3$:

$$a = C_4^3 \cdot 1^{1} \cdot (3x)^3$$

• $C_4^3 = 4$
• $1^1 = 1$
• $(3x)^3 = 27x^3$

Шаг 3. Перемножаем:

$$a = 4 \cdot 1 \cdot 27x^3 = 108x^3$$

Ответ:

Коэффициент при $x^3$:
Ответ: 108

б) $P(x) = (3 — 2x)^5$

Шаг 1. Формула бинома Ньютона:

$$(3 — 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k \cdot 3^{5 — k} \cdot (-2x)^k$$

Нужен член с $x^3$, то есть $k = 3$.

Шаг 2. Подставим $k = 3$:

$$a = C_5^3 \cdot 3^{2} \cdot (-2x)^3$$

• $C_5^3 = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2} = \dfrac{20}{2} = 10$
• $3^2 = 9$
• $(-2x)^3 = -8x^3$

Шаг 3. Перемножаем:

$$a = 10 \cdot 9 \cdot (-8x^3) = 90 \cdot (-8x^3) = -720x^3$$

Ответ:

Коэффициент при $x^3$:
Ответ: -720

в) $P(x) = (x + 2)^5 — (2x + 1)^4$

Часть 1: $(x + 2)^5$

Формула бинома Ньютона:

$$(x + 2)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k \cdot x^k \cdot 2^{5 — k}$$

Нужен член с $x^3$, т.е. $k = 3$:

$$a_1 = C_5^3 \cdot x^3 \cdot 2^{2}$$

• $C_5^3 = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$
• $2^2 = 4$

$$a_1 = 10 \cdot x^3 \cdot 4 = 40x^3$$

Часть 2: $(2x + 1)^4$

$$(2x + 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k \cdot (2x)^k \cdot 1^{4 — k}$$

Нужен член с $x^3$, значит $k = 3$:

$$a_2 = C_4^3 \cdot (2x)^3 \cdot 1^1$$

• $C_4^3 = 4$
• $(2x)^3 = 8x^3$

$$a_2 = 4 \cdot 8x^3 = 32x^3$$

Разность:

$$a = a_1 — a_2 = 40x^3 — 32x^3 = 8x^3$$

Ответ:

Коэффициент при $x^3$:
Ответ: 8

г) $P(x) = (x^2 — x)^4 + \left(3 — \dfrac{x}{3}\right)^4$

Часть 1: $(x^2 — x)^4$

Здесь задача необычная: скобки содержат сумму двух степенных выражений: $x^2$ и $-x$. Чтобы найти коэффициент при $x^3$, нужно:

Разложить по биному:

$$(x^2 — x)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k \cdot (x^2)^{4 — k} \cdot (-x)^k$$

Рассчитаем общую степень $x$ в каждом члене:

$$(x^2)^{4 — k} = x^{2(4 — k)} = x^{8 — 2k}$$ $$(-x)^k = (-1)^k \cdot x^k$$

Итоговая степень:

$$x^{8 — 2k + k} = x^{8 — k}$$

Нас интересует $x^3$, т.е. $8 — k = 3 \Rightarrow k = 5$, но $k \leq 4$.
Вывод: в этой части нет члена с $x^3$.

Часть 2: $\left(3 — \dfrac{x}{3}\right)^4$

Применим бинома Ньютона:

$$\left(3 — \frac{x}{3}\right)^4 = \sum_{k = 0}^{4} C_4^k \cdot 3^{4 — k} \cdot \left(-\frac{x}{3}\right)^k$$

Чтобы получить $x^3$, нужно $k = 3$:

$$a = C_4^3 \cdot 3^{1} \cdot \left(-\dfrac{x}{3}\right)^3$$

• $C_4^3 = 4$
• $3^1 = 3$
• $\left(-\dfrac{x}{3}\right)^3 = -\dfrac{x^3}{27}$

$$a = 4 \cdot 3 \cdot \left(-\dfrac{x^3}{27}\right) = -\dfrac{12x^3}{27} = -\dfrac{4}{9}x^3$$

Итоговая сумма:

Т.к. первая часть не содержит $x^3$, берём только вторую:

Ответ:

Коэффициент при $x^3$:
Ответ: $-\dfrac{4}{9}$