ГДЗ 10-11 Класс Номер 53.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти член разложения, не содержащий переменных:

а)

$$\left(2x^{2}+\frac{1}{x}\right)^{6};$$

Произвольный член разложения:

$$b = C_{6}^{k} \cdot \left(2x^{2}\right)^{6-k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{k};$$ $$b = C_{6}^{k} \cdot 2^{6-k} \cdot x^{12 — 2k} \cdot \frac{1}{x^{k}} = C_{6}^{k} \cdot 2^{6-k} \cdot x^{12 — 3k},$$

Не содержащий переменной $x$:

$$12 — 3k = 0;$$ $$3k = 12;$$ $$k = \frac{12}{3} = 4;$$ $$b = C_{6}^{4} \cdot 2^{6 — 4} \cdot x^{0} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \cdot 2^{2} \cdot 1 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 4!} \cdot 4 = 60;$$

Ответ: 60.

б)

$$\left(3\sqrt[4]{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{9};$$

Произвольный член разложения:

$$b = C_{9}^{k} \cdot \left(3\sqrt[4]{a}\right)^{9-k} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{k} = C_{9}^{k} \cdot \left(3 \cdot a^{\frac{1}{4}}\right)^{9-k} \cdot \left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^{k};$$ $$b = C_{9}^{k} \cdot 3^{9-k} \cdot a^{\frac{9}{4} — \frac{k}{4}} \cdot a^{-\frac{k}{2}} = C_{9}^{k} \cdot 3^{9-k} \cdot a^{\frac{9}{4} — \frac{3k}{4}};$$

Не содержащий переменной $a$:

$$\frac{9}{4} — \frac{3k}{4} = 0;$$ $$9 — 3k = 0;$$ $$3k = 9;$$ $$k = \frac{9}{3} = 3;$$ $$b = C_{9}^{3} \cdot 3^{9 — 3} \cdot a^{0} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} \cdot 3^{6} \cdot 1 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 6!} \cdot 729 = 61236;$$

Ответ: 61236.

а) Найти член разложения, не содержащий переменных в выражении:

$$P(x) = \left(2x^2 + \frac{1}{x} \right)^6$$

Шаг 1. Используем формулу бинома Ньютона:

Произвольный член разложения (k-й член, начиная с нуля):

$$b_k = C_6^k \cdot (2x^2)^{6 — k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k$$

Шаг 2. Преобразуем каждую часть:

• $(2x^2)^{6 — k} = 2^{6 — k} \cdot x^{2(6 — k)} = 2^{6 — k} \cdot x^{12 — 2k}$
• $\left(\frac{1}{x}\right)^k = x^{-k}$

Тогда:

$$b_k = C_6^k \cdot 2^{6 — k} \cdot x^{12 — 2k} \cdot x^{-k}$$

Сложим показатели степени $x$:

$$x^{12 — 2k — k} = x^{12 — 3k}$$

Итак:

$$b_k = C_6^k \cdot 2^{6 — k} \cdot x^{12 — 3k}$$

Шаг 3. Требуется, чтобы член не содержал переменной $x$:

$$x^{12 — 3k} = x^0 \quad \Rightarrow \quad 12 — 3k = 0$$

Решаем уравнение:

$$3k = 12 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{12}{3} = 4$$

Шаг 4. Подставим $k = 4$ в выражение для члена:

$$b = C_6^4 \cdot 2^{6 — 4} \cdot x^0 = C_6^4 \cdot 2^2 \cdot 1$$

Шаг 5. Вычислим биномиальный коэффициент:

$$C_6^4 = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2} = \frac{30}{2} = 15$$

Теперь:

$$b = 15 \cdot 4 = 60$$

Ответ: 60

б) Найти член разложения, не содержащий переменной $a$ в выражении:

$$P(a) = \left(3\sqrt[4]{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}\right)^9$$

Шаг 1. Формула бинома Ньютона:

Произвольный член разложения:

$$b_k = C_9^k \cdot (3\sqrt[4]{a})^{9 — k} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^k$$

Шаг 2. Запишем показатели степени:

• $\sqrt[4]{a} = a^{1/4}$, значит: $(3a^{1/4})^{9 — k} = 3^{9 — k} \cdot a^{\frac{9 — k}{4}}$
• $\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^k = a^{-k/2}$

Тогда:

$$b_k = C_9^k \cdot 3^{9 — k} \cdot a^{\frac{9 — k}{4}} \cdot a^{-k/2}$$

Складываем степени $a$:

$$\frac{9 — k}{4} — \frac{k}{2} = \frac{9 — k — 2k}{4} = \frac{9 — 3k}{4}$$

Итак:

$$b_k = C_9^k \cdot 3^{9 — k} \cdot a^{\frac{9 — 3k}{4}}$$

Шаг 3. Требуем, чтобы член не содержал переменной $a$:

$$\frac{9 — 3k}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad 9 — 3k = 0 \quad \Rightarrow \quad 3k = 9 \quad \Rightarrow \quad k = 3$$

Шаг 4. Подставим $k = 3$ в выражение:

$$b = C_9^3 \cdot 3^{9 — 3} \cdot a^0 = C_9^3 \cdot 3^6 \cdot 1$$

Шаг 5. Вычислим:

• $C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{504}{6} = 84$
• $3^6 = 729$

$$b = 84 \cdot 729 = 61236$$

Ответ: 61236