ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выбирают одно из решений неравенства:
$1 \leq |x — 3| \leq 5$;
Найти вероятность, что оно является решением второго неравенства;

Если $x \geq 3$, тогда:
$1 \leq x — 3 \leq 5$;
$4 \leq x \leq 8$;

Если $x \leq 3$, тогда:
$1 \leq -(x — 3) \leq 5$;
$-5 \leq x — 3 \leq -1$;
$-2 \leq x \leq 2$;

Решения данного неравенства:
$-2 \leq x \leq 2$ или $4 \leq x \leq 8$;

а) $|x| \leq 2$;
Если $x \geq 0$, тогда:
$x \leq 2$;
Если $x \leq 0$, тогда:
$-x \leq 2$;
$x \geq -2$;
Решения неравенства:
$-2 \leq x \leq 2$;
$[-2; 2] \cup [4; 8] \cap [-2; 2] = [-2; 2]$;
$P = \frac{2 — (-2)}{(2 — (-2)) + (8 — 4)} = \frac{4}{8} = 0{,}5$;
Ответ: $0{,}5$

б) $|x — 6| \leq 2$;
Если $x \geq 6$, тогда:
$x — 6 \leq 2$;
$x \leq 8$;
Если $x \leq 6$, тогда:
$-(x — 6) \leq 2$;
$6 — x \leq 2$;
$x \geq 4$;
Решения неравенства:
$4 \leq x \leq 8$;
$[-2; 2] \cup [4; 8] \cap [4; 8] = [4; 8]$;
$P = \frac{8 — 4}{(2 — (-2)) + (8 — 4)} = \frac{4}{8} = 0{,}5$;
Ответ: $0{,}5$

в) $|x| \leq 1$;
Если $x \geq 0$, тогда:
$x \leq 1$;
Если $x \leq 0$, тогда:
$-x \leq 1$;
$x \geq -1$;
Решения неравенства:
$-1 \leq x \leq 1$;
$[-2; 2] \cup [4; 8] \cap [-1; 1] = [-1; 1]$;
$P = \frac{1 — (-1)}{(2 — (-2)) + (8 — 4)} = \frac{2}{8} = 0{,}25$;
Ответ: $0{,}25$

г) $1 \leq |x — 6| \leq 2$;
Если $x \geq 6$, тогда:
$1 \leq x — 6 \leq 2$;
$7 \leq x \leq 8$;
Если $x \leq 6$, тогда:
$1 \leq -(x — 6) \leq 2$;
$-2 \leq x — 6 \leq -1$;
$4 \leq x \leq 5$;
Решения неравенства:
$4 \leq x \leq 5$ или $7 \leq x \leq 8$;
$[-2; 2] \cup [4; 8] \cap [4; 5] \cup [7; 8] = [4; 5] \cup [7; 8]$;
$P = \frac{5 — 4 + 8 — 7}{(2 — (-2)) + (8 — 4)} = \frac{2}{8} = 0{,}25$;
Ответ: $0{,}25$

Выбирают одно из решений неравенства:

$$1 \leq |x — 3| \leq 5$$

Найти вероятность, что выбранное значение является решением второго неравенства в каждом из пунктов.

Шаг 1. Найдём множество решений исходного неравенства

Рассмотрим:

$$1 \leq |x — 3| \leq 5$$

По определению модуля:

$$|x — 3| \in [1; 5] \Rightarrow x — 3 \in [-5; -1] \cup [1; 5]$$

Теперь прибавим 3 ко всем частям:

• Левая часть: $x \in [-2; 2]$
• Правая часть: $x \in [4; 8]$

Итак, множество решений:

$$x \in [-2; 2] \cup [4; 8]$$

Обозначим:

• Длина отрезка $[-2; 2]$: $2 — (-2) = 4$
• Длина отрезка $[4; 8]$: $8 — 4 = 4$
• Общая длина: $4 + 4 = 8$

Всего длина множества, из которого выбирается случайное значение: 8.

а) Найти вероятность того, что выбранное значение — решение неравенства:

$$|x| \leq 2$$

Решим неравенство:

$$|x| \leq 2 \Rightarrow x \in [-2; 2]$$

Теперь найдём пересечение:

$$([-2; 2] \cup [4; 8]) \cap [-2; 2] = [-2; 2]$$

Длина пересечения:

$$2 — (-2) = 4$$

Вероятность:

$$P = \frac{\text{длина пересечения}}{\text{общая длина}} = \frac{4}{8} = 0{,}5$$

Ответ: $\boxed{0{,}5}$

б) Найти вероятность того, что выбранное значение — решение неравенства:

$$|x — 6| \leq 2$$

Решим неравенство:

$$|x — 6| \leq 2 \Rightarrow x \in [4; 8]$$

Пересечение:

$$([-2; 2] \cup [4; 8]) \cap [4; 8] = [4; 8]$$

Длина пересечения:

$$8 — 4 = 4$$

Вероятность:

$$P = \frac{4}{8} = 0{,}5$$

Ответ: $\boxed{0{,}5}$

в) Найти вероятность того, что выбранное значение — решение неравенства:

$$|x| \leq 1$$

Решим неравенство:

$$|x| \leq 1 \Rightarrow x \in [-1; 1]$$

Пересечение:

$$([-2; 2] \cup [4; 8]) \cap [-1; 1] = [-1; 1]$$

Длина пересечения:

$$1 — (-1) = 2$$

Вероятность:

$$P = \frac{2}{8} = 0{,}25$$

Ответ: $\boxed{0{,}25}$

г) Найти вероятность того, что выбранное значение — решение неравенства:

$$1 \leq |x — 6| \leq 2$$

Решим неравенство:

$$|x — 6| \in [1; 2] \Rightarrow x — 6 \in [-2; -1] \cup [1; 2]$$

Прибавим 6:

$$x \in [4; 5] \cup [7; 8]$$

Пересечение с исходным множеством:

$$([-2; 2] \cup [4; 8]) \cap ([4; 5] \cup [7; 8]) = [4; 5] \cup [7; 8]$$

Длина пересечения:

• $[4; 5]$: $1$
• $[7; 8]$: $1$
• Всего: $1 + 1 = 2$

Вероятность:

$$P = \frac{2}{8} = 0{,}25$$

Ответ: $\boxed{0{,}25}$

Финальные ответы:

а) $\boxed{0{,}5}$
б) $\boxed{0{,}5}$
в) $\boxed{0{,}25}$
г) $\boxed{0{,}25}$