ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите вероятность того, что она:

а) лежит внутри треугольника;

б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;

в) лежит вне треугольника;

г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, взята точка;

а) Вероятность, что она лежит внутри треугольника:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$;
$R = \frac{10}{2} = 5$;

$$P = \frac{S_{\text{треуг}}}{S_{\text{опис. окр}}} = \frac{\frac{1}{2} ab}{\pi R^2} = \frac{6 \cdot 8}{2 \cdot \pi \cdot 5^2} = \frac{24}{25\pi} \approx 0{,}306$$

Ответ: $\frac{24}{25\pi} \approx 0{,}306$.

б) Вероятность, что она лежит внутри вписанной окружности:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$;
$r = \frac{a + b — c}{2} = \frac{6 + 8 — 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$;
$R = \frac{10}{2} = 5$;

$$P = \frac{S_{\text{впис. окр}}}{S_{\text{опис. окр}}} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \left( \frac{r}{R} \right)^2 = \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25} = 0{,}16$$

Ответ: 0,16.

в) Вероятность, что она лежит вне треугольника:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$;
$R = \frac{10}{2} = 5$;

$$P = \frac{S_{\text{опис. окр}} — S_{\text{треуг}}}{S_{\text{опис. окр}}} = 1 — \frac{S_{\text{треуг}}}{S_{\text{опис. окр}}} = 1 — \frac{\frac{1}{2} ab}{\pi R^2}$$

$$P = 1 — \frac{6 \cdot 8}{2 \cdot \pi \cdot 5^2} = 1 — \frac{24}{25\pi} \approx 0{,}694$$

Ответ: $1 — \frac{24}{25\pi} \approx 0{,}694$.

г) Вероятность, что эта точка лежит внутри треугольника, но вне вписанной в этот треугольник окружности:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$;
$r = \frac{a + b — c}{2} = \frac{6 + 8 — 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$;
$R = \frac{10}{2} = 5$;

$$P = \frac{S_{\text{треуг}} — S_{\text{впис. окр}}}{S_{\text{опис. окр}}} = \frac{\frac{1}{2} ab — \pi r^2}{\pi R^2}$$

$$P = \frac{\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 — \pi \cdot 2^2}{\pi \cdot 5^2} = \frac{24 — 4\pi}{25\pi} \approx 0{,}146$$

Ответ: $\frac{24 — 4\pi}{25\pi} \approx 0{,}146$.

Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами $a = 6$ и $b = 8$, случайным образом выбрана точка.

Требуется найти вероятности:

• а) что точка попала внутрь треугольника;
• б) что точка попала внутрь окружности, вписанной в треугольник;
• в) что точка попала вне треугольника;
• г) что точка попала внутрь треугольника, но не внутрь вписанной окружности.

Подготовительные вычисления:

1. Гипотенуза треугольника

По теореме Пифагора:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

2. Площадь треугольника

$$S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$$

3. Радиус описанной окружности

Для прямоугольного треугольника описанная окружность имеет центр в середине гипотенузы.
Значит, радиус описанной окружности:

$$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Площадь описанной окружности:

$$S_{\text{опис}} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$$

4. Радиус вписанной окружности

Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

$$r = \frac{a + b — c}{2} = \frac{6 + 8 — 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Площадь вписанной окружности:

$$S_{\text{впис}} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$$

а) Вероятность, что точка лежит внутри треугольника

Мы знаем:

• Площадь треугольника: $S_{\text{треуг}} = 24$
• Площадь описанной окружности: $S_{\text{опис}} = 25\pi$

Так как точка выбирается равновероятно внутри всей окружности, вероятность того, что она попала в область треугольника:

$$P = \frac{S_{\text{треуг}}}{S_{\text{опис}}} = \frac{24}{25\pi}$$

Численно:

$$\frac{24}{25\pi} \approx \frac{24}{78.54} \approx 0.3058$$

Ответ:

$$P = \frac{24}{25\pi} \approx 0{,}306$$

б) Вероятность, что точка лежит внутри вписанной окружности

Мы ищем вероятность того, что точка попала внутрь вписанной окружности, но напомним: точка выбирается внутри описанной.

Площадь вписанной окружности: $4\pi$
Площадь описанной окружности: $25\pi$

$$P = \frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{опис}}} = \frac{4\pi}{25\pi} = \frac{4}{25}$$

Численно:

$$\frac{4}{25} = 0.16$$

Ответ:

$$P = \frac{4}{25} = 0{,}16$$

в) Вероятность, что точка лежит вне треугольника

Так как вся описанная окружность — область выбора, а треугольник занимает часть этой окружности, то оставшаяся часть — это область вне треугольника.

То есть:

$$P = 1 — \frac{S_{\text{треуг}}}{S_{\text{опис}}} = 1 — \frac{24}{25\pi}$$

Численно:

$$1 — \frac{24}{25\pi} \approx 1 — 0.3058 = 0.6942$$

Ответ:

$$P = 1 — \frac{24}{25\pi} \approx 0{,}694$$

г) Вероятность, что точка лежит внутри треугольника, но вне вписанной окружности

Ищем вероятность того, что точка попала:

• Внутрь треугольника
• Но не попала в его вписанную окружность

То есть:

$$P = \frac{S_{\text{треуг}} — S_{\text{впис}}}{S_{\text{опис}}}$$

Подставим:

$$P = \frac{24 — 4\pi}{25\pi}$$

Численно:

$$P = \frac{24 — 4\pi}{25\pi} \approx \frac{24 — 12.566}{78.54} \approx \frac{11.434}{78.54} \approx 0.1456$$

Ответ:

$$P = \frac{24 — 4\pi}{25\pi} \approx 0{,}146$$