ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Карточка лотереи «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано:

а) хотя бы одно число;

б) не более одного числа;

в) не менее трёх чисел;

г) 4, 5 или 6 чисел?

На лотерейной карточке отмечают 6 чисел из 49;

а) Вероятность, что верно отмечено хотя бы одно число:
$N = C_{49}^6$,
$N(\overline{A}) = C_{43}^6$;

$$P(A) = 1 — P(\overline{A}) = 1 — \frac{N(\overline{A})}{N} = 1 — \frac{C_{43}^6}{C_{49}^6} = 1 — \frac{43!}{6! \cdot 37!} : \frac{49!}{6! \cdot 43!}$$

$$P(A) = 1 — \frac{43! \cdot 43!}{37! \cdot 49!} = 1 — \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38}{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44} \approx 0{,}5640$$

Ответ: ≈ 56,4%.

б) Вероятность, что верно отмечено не более одного числа:
$N = C_{49}^6$,
$N(A) = C_6^0 \cdot C_{43}^6 = C_{43}^6$,
$N(B) = C_6^1 \cdot C_{43}^5$;

$$P = P(A + B) = \frac{N(A) + N(B)}{N} = \frac{C_{43}^6 + C_6^1 \cdot C_{43}^5}{C_{49}^6}$$

$$P = \left( \frac{43!}{6! \cdot 37!} + 6 \cdot \frac{43!}{5! \cdot 38!} \right) : \frac{49!}{6! \cdot 43!}$$

$$P = \frac{38 \cdot 43! + 6 \cdot 6 \cdot 43!}{6! \cdot 38!} \cdot \frac{6! \cdot 43!}{49!} = \frac{(38 + 36) \cdot (43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39)}{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44} \approx 0{,}8489$$

Ответ: ≈ 84,9%.

в) Вероятность, что верно отмечено не менее трёх чисел:
$N = C_{49}^6$,
$N(\overline{A}) = C_{43}^6$,
$N(\overline{B}) = C_6^1 \cdot C_{43}^5$,
$N(\overline{C}) = C_6^2 \cdot C_{43}^4$;

$$P = 1 — P(\overline{A} + \overline{B} + \overline{C}) = 1 — \frac{C_{43}^6 + C_6^1 \cdot C_{43}^5 + C_6^2 \cdot C_{43}^4}{C_{49}^6}$$

$$P = 1 — \left( \frac{43!}{6! \cdot 37!} + 6 \cdot \frac{43!}{5! \cdot 38!} + \frac{6(6 — 1)}{2} \cdot \frac{43!}{4! \cdot 39!} \right) : \frac{49!}{6! \cdot 43!}$$

$$P = 1 — \left( 39 \cdot 38 \cdot 43! + 6 \cdot 6 \cdot 39 \cdot 43! + 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 43! \right) / (6! \cdot 39!) \cdot \frac{6! \cdot 43!}{49!}$$

$$P = 1 — (1482 + 1404 + 450) \cdot (43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40) / (49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44) = 0{,}0186$$

Ответ: ≈ 1,9%.

г) Вероятность, что верно отмечено более трёх чисел:
$N = C_{49}^6$,
$N(A) = C_6^4 \cdot C_{43}^2$,
$N(B) = C_6^5 \cdot C_{43}^1$,
$N(C) = C_6^6$;

$$P = P(A + B + C) = \frac{C_6^4 \cdot C_{43}^2 + C_6^5 \cdot C_{43}^1 + C_6^6}{C_{49}^6}$$

$$P = \left( \frac{6!}{4! \cdot 2!} \cdot \frac{43 \cdot 42}{2} + 6 \cdot 43 + 1 \right) : \frac{49!}{6! \cdot 43!}$$

$$P = \left( \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot \frac{43 \cdot 42}{2} + 258 + 1 \right) \cdot \frac{6! \cdot 43!}{49!}$$

$$P = (13545 + 259) \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 / (49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44) \approx 0{,}00098$$

Ответ: ≈ 0,098%.

Условие задачи

• В лотерее «Спортлото» участвуют 49 чисел.
• В каждом тираже случайно выпадает 6 чисел.
• Игрок на своей карточке отмечает 6 чисел из 49.
• Выигрыш зависит от того, сколько из выбранных совпало с выпавшими.

Требуется найти в процентах вероятность того, что на карточке игрока угадано:

а) хотя бы одно число
б) не более одного числа
в) не менее трёх чисел
г) ровно 4, 5 или 6 чисел

Обозначения и общая информация

Обозначим:

• $n = 49$ — всего чисел
• $k = 6$ — чисел в выигрышной комбинации
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$
• $N = C_{49}^6$ — общее количество всех возможных комбинаций игрока и выпадений

В каждом случае нас интересует, в скольких из них выполняется нужное условие.

а) Вероятность, что угадано хотя бы одно число

«Хотя бы одно» означает: угадано 1, 2, 3, 4, 5 или 6 чисел.

Проще вычислить противоположное событие:

• угадано 0 чисел (то есть все выбранные 6 чисел не входят в выигрышные 6)

Число таких комбинаций:

• Из 43 невыигрышных чисел (т. е. $49 — 6 = 43$) нужно выбрать 6:

  $$N_0 = C_{43}^6$$

Общее число вариантов:

$$N = C_{49}^6$$

Тогда вероятность:

$$P = 1 — \frac{C_{43}^6}{C_{49}^6}$$

Вычислим точно:

$$P = 1 — \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38}{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}$$

Это можно вычислить напрямую, но используем приближённое значение:

$$P \approx 0{,}5640 \Rightarrow 56{,}4\%$$

Ответ: 56,4%

б) Вероятность, что угадано не более одного числа

То есть угадано:

• 0 или 1 число

Найдём количество таких комбинаций:

1. Угадано 0 чисел:

Как ранее:

$$N_0 = C_{43}^6$$

2. Угадано 1 число:

Выбираем:

• 1 число из 6 выигрышных: $C_6^1$
• 5 чисел из 43 невыигрышных: $C_{43}^5$

$$N_1 = C_6^1 \cdot C_{43}^5$$

Общее количество:

$$N = C_{49}^6$$

Вероятность:

$$P = \frac{N_0 + N_1}{N} = \frac{C_{43}^6 + C_6^1 \cdot C_{43}^5}{C_{49}^6}$$

Подставим значения:

$$P = \frac{C_{43}^6 + 6 \cdot C_{43}^5}{C_{49}^6}$$

При числовом подсчёте получаем:

$$P \approx 0{,}8489 \Rightarrow 84{,}9\%$$

Ответ: 84,9%

в) Вероятность, что угадано не менее трёх чисел

То есть: 3, 4, 5 или 6 угаданных чисел.

Это дополняющее событие к:

• 0, 1 или 2 угаданных чисел

Посчитаем число неудачных вариантов:

1. Угадано 0:

$$N_0 = C_{43}^6$$

2. Угадано 1:

$$N_1 = C_6^1 \cdot C_{43}^5$$

3. Угадано 2:

$$N_2 = C_6^2 \cdot C_{43}^4 = \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot C_{43}^4 = 15 \cdot C_{43}^4$$

Общее число:

$$N = C_{49}^6$$

Тогда вероятность:

$$P = 1 — \frac{N_0 + N_1 + N_2}{N} = 1 — \frac{C_{43}^6 + 6 \cdot C_{43}^5 + 15 \cdot C_{43}^4}{C_{49}^6}$$

Подставим численные значения и вычислим:

$$P \approx 0{,}0186 \Rightarrow 1{,}86\%$$

Ответ: 1,9%

г) Вероятность, что угадано 4, 5 или 6 чисел

Рассматриваем:

• Ровно 4 числа
• Ровно 5 чисел
• Ровно 6 чисел

Найдём количество комбинаций:

1. Угадано 4:

• $C_6^4 \cdot C_{43}^2 = 15 \cdot C_{43}^2$

2. Угадано 5:

• $C_6^5 \cdot C_{43}^1 = 6 \cdot 43$

3. Угадано 6:

• $C_6^6 = 1$

Суммарно:

$$N_{456} = 15 \cdot C_{43}^2 + 6 \cdot 43 + 1$$

Искомая вероятность:

$$P = \frac{15 \cdot C_{43}^2 + 6 \cdot 43 + 1}{C_{49}^6}$$

При вычислении получаем:

$$P \approx 0{,}00098 \Rightarrow 0{,}098\%$$

Ответ: 0,098%