ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Точка случайным образом выбрана из фигуры, ограниченной параболой у = х², осью абсцисс и прямой х = 3. Найдите вероятность того, что она лежит:

а) левее прямой х = 1;

б) правее прямой х = 2;

в) выше прямой у = 4;

г) ниже прямой у = 1.

Точка случайным образом выбрана из фигуры, ограниченной
параболой $y = x^2$, осью абсцисс и прямой $x = 3$;

Нули функции:

$$x^2 = 0; \quad x = 0;$$

На отрезке $[0;\ 3]$:

$$x^2 \geq 0;$$

а) Вероятность того, что она лежит левее прямой $x = 1$:

$$P={\int }_0^1{x}^2:{\int }_0^3{x}^2=\frac{x^3}{3}{\mid }_0^1:\frac{x^3}{3}{\mid }_0^3;$$

$$P = \int_0^1 x^2 : \int_0^3 x^2 = \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 : \frac{x^3}{3} \Big|_0^3;$$ $$P = \left(\frac{1^3}{3} — \frac{0^3}{3}\right) : \left(\frac{3^3}{3} — \frac{0^3}{3}\right) = \frac{1}{3} : \frac{27}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{27} = \frac{1}{27};$$

Ответ: $\frac{1}{27}$.

б) Вероятность того, что она лежит правее прямой $x = 2$:

$$P={\int }_2^3{x}^2:{\int }_0^3{x}^2=\frac{x^3}{3}{\mid }_2^3:\frac{x^3}{3}{\mid }_0^3;$$

$$P = \int_2^3 x^2 : \int_0^3 x^2 = \frac{x^3}{3} \Big|_2^3 : \frac{x^3}{3} \Big|_0^3;$$ $$P = \left(\frac{27}{3} — \frac{8}{3}\right) : \frac{27}{3} = \frac{19}{3} \cdot \frac{3}{27} = \frac{19}{27};$$

Ответ: $\frac{19}{27}$.

в) Вероятность того, что она лежит выше прямой $y = 4$:

Нули функции:

$$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm2;$$

На отрезке $[2;\ 3]$:

$$x^2 \geq 4;$$

Искомая вероятность:

$$P={\int }_2^3(x^2-4):{\int }_0^3{x}^2=(\frac{x^3}{3}-4x){\mid }_2^3:\frac{x^3}{3}{\mid }_0^3;$$

$$P = \int_2^3 (x^2 — 4) : \int_0^3 x^2 = \left(\frac{x^3}{3} — 4x\right) \Big|_2^3 : \frac{x^3}{3} \Big|_0^3;$$ $$P = \left(\frac{27}{3} — 12 — \frac{8}{3} + 8\right) : \frac{27}{3} = \left(\frac{19}{3} — 4\right) \cdot \frac{3}{27} = \frac{19}{27} — \frac{12}{27} = \frac{7}{27};$$

Ответ: $\frac{7}{27}$.

г) Вероятность того, что она лежит выше прямой $y = 1$:

Нули функции:

$$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1;$$

На отрезке $[0;\ 1]$:

$$x^2 \leq 1;$$

Искомая вероятность:

$$P=({\int }_0^3{x}^2-{\int }_1^3(x^2-1)):{\int }_0^3{x}^2=1-(\frac{x^3}{3}-x){\mid }_1^3:\frac{x^3}{3}{\mid }_0^3;$$

$$P = \left( \int_0^3 x^2 — \int_1^3 (x^2 — 1) \right) : \int_0^3 x^2 = 1 — \left(\frac{x^3}{3} — x\right) \Big|_1^3 : \frac{x^3}{3} \Big|_0^3;$$ $$P=1-(\frac{27}{3}-3-\frac{1}{3}+1):\frac{27}{3}=1-(\frac{26}{3}-2)\cdot \frac{3}{27};$$

$$P = 1 — \left( \frac{27}{3} — 3 — \frac{1}{3} + 1 \right) : \frac{27}{3} = 1 — \left( \frac{26}{3} — 2 \right) \cdot \frac{3}{27};$$ $$P = 1 — \frac{26}{27} + \frac{6}{27} = 1 — \frac{20}{27} = \frac{7}{27};$$

Ответ: $\frac{7}{27}$.

Найдём площадь всей фигуры (область интегрирования):

$$S_{\text{всего}} = \int_0^3 x^2\,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^3 = \frac{27}{3} = 9.$$

а) Вероятность, что точка лежит левее прямой $x = 1$:

Мы берём только ту часть фигуры, где $0 \leq x \leq 1$. Тогда:

$$S_{\text{лево}} = \int_0^1 x^2\,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1 = \frac{1}{3}.$$ $$P = \frac{S_{\text{лево}}}{S_{\text{всего}}} = \frac{1/3}{9} = \frac{1}{27}.$$

Ответ:

$$\boxed{P = \frac{1}{27}}$$

б) Вероятность, что точка лежит правее прямой $x = 2$:

Ищем площадь под параболой от $x = 2$ до $x = 3$:

$$S_{\text{право}} = \int_2^3 x^2\,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_2^3 = \frac{27 — 8}{3} = \frac{19}{3}.$$ $$P = \frac{S_{\text{право}}}{S_{\text{всего}}} = \frac{19/3}{9} = \frac{19}{27}.$$

Ответ:

$$\boxed{P = \frac{19}{27}}$$

в) Вероятность, что точка лежит выше прямой $y = 4$:

Прямая $y = 4$ пересекает параболу в точках, где $x^2 = 4$, т.е. $x = \pm2$. Нас интересует участок от $x = 2$ до $x = 3$.

Ищем площадь между графиком $y = x^2$ и прямой $y = 4$ (верхняя граница):

$$S_{\text{выше 4}} = \int_2^3 (x^2 — 4)\,dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} — 4x \right) \right|_2^3 = \left( \frac{27}{3} — 12 \right) — \left( \frac{8}{3} — 8 \right) = (9 — 12) — \left( \frac{8}{3} — 8 \right)$$ $$= -3 — \left( \frac{8}{3} — 8 \right) = -3 — \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{7}{3}$$ $$P = \frac{7/3}{9} = \frac{7}{27}$$

Ответ:

$$\boxed{P = \frac{7}{27}}$$

г) Вероятность, что точка лежит ниже прямой $y = 1$:

Прямая $y = 1$ пересекает параболу в точках, где $x^2 = 1$ ⇒ $x = \pm1$. Нас интересует область от $x = 0$ до $x = 1$, где $x^2 \leq 1$.

Ищем площадь между прямой $y = 1$ и параболой $y = x^2$:

$$S_{\text{ниже 1}} = \int_0^1 (1 — x^2)\,dx = \left. \left(x — \frac{x^3}{3}\right) \right|_0^1 = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$ $$P = \frac{2/3}{9} = \frac{2}{27}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle P=\frac{7}{27}}}$$